46、低次随机预言机与椭圆曲线2链族的密码学研究

低次随机预言机与椭圆曲线2链族的密码学研究

低次随机预言机相关概念

在密码学研究中，低次随机预言机是一个重要的概念。我们用 $F_{\leq d}[X_1, \ldots, X_m]$ 表示在 $F$ 上，每个变量的最高次数至多为 $d$ 的 $m$ 元多项式向量空间。

定义 9 给出了 $(F, m, d)$ - 低次随机预言机的定义：设 $F = {F_{\lambda}} {\lambda \in \mathbb{N}}$ 是一族域，$m, d: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$，则 $(F, m, d)$ - 低次随机预言机是线性码随机预言机 $({F {\leq d(\lambda)}[X_1, \ldots, X_{m(\lambda)}]} {\lambda}, F)$，其中 $F(1^{\lambda})(b_1, \ldots, b {m(\lambda)}) := (i_{\lambda}(b_1), \ldots, i_{\lambda}(b_{m(\lambda)}))$，这里 $i_{\lambda} : {0, 1} \to F_{\lambda}$ 是自然嵌入，将 0 映射到 $0_{F_{\lambda}}$，将 1 映射到 $1_{F_{\lambda}}$。

线性码随机预言机的分叉引理

设 $C \subseteq (D \to F)$ 是满秩线性码，$A$ 是一个 $t$ - 查询 $C$ - 预言机算法。对于 $x \in {0, 1}^n$，$\alpha \in F^t$，$\sigma \in {0, 1}^*$，我们用 $(q, o; tr) \