PlonK Permutations over Lagrange-bases for Oecumenical Noninteractive arguments of Knowledge学习笔记-2

多项式与黑盒模拟prove

1.域：

有限域： F P = Z P = { 0 , 1 , . . . , p − 1 } F_P=Z_P=\lbrace 0,1,...,p-1\rbrace FP​=ZP​={ 0,1,...,p−1} ,p个元素，满足加减乘除运算。

有限域的乘法群： F p = Z p ∗ = { 1 , 2 , . . . , p − 1 } F_p = Z_p^* = \lbrace 1,2,...,p-1\rbrace Fp​=Zp∗​={ 1,2,...,p−1}, p-1个元素，满足乘除运算。

例如：

• ​ p =2,3,5,7,
• ​ 当p=2： F 2 = { 0 , 1 } F_2=\lbrace 0,1\rbrace F2​={ 0,1},乘法群 F 2 ∗ = { 1 } F_2^*=\lbrace1\rbrace F2∗​={ 1}.
• ​ 当p=3： F 3 = { 0 , 1 , 2 } F_3=\lbrace 0,1,2\rbrace F3​={ 0,1,2},乘法群 F 3 ∗ = { 1 , 2 } F_3^*=\lbrace 1,2\rbrace F3∗​={ 1,2}. 因为$2\times 2=1$
• ​ 当p=5： F 5 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } F_5=\lbrace 0,1,2,3,4\rbrace F5​={ 0,1,2,3,4},乘法群 F 5 ∗ = { 1 , 2 , 3 , 4 } F_5^*=\lbrace 1,2,3,4\rbrace F5∗​={ 1,2,3,4}. 2是生成元， { 1 , 2 , 2 2 = 4 , 2 3 = 3 } \lbrace 1,2,2^2=4,2^3=3\rbrace { 1,2,22=4,23=3}是一个循环群
• ​ 当p=7： F 7 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } F_7=\lbrace 0,1,2,3,4,5,6\rbrace F7​={ 0,1,2,3,4,5,6},乘法群 F 7 ∗ = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } F_7^*=\lbrace 1,2,3,4,5,6\rbrace F7∗​={ 1,2,3,4,5,6}. 3是生成元， { 1 , 3 , 3 2 = 2 , 3