#容斥，组合计数#洛谷 3214 卡农

题目

在集合$S=[1\sim n]$中选出$m$个子集，满足三点性质：

1. 所有选出的$m$个子集都不能为空。
2. 所有选出的$m$个子集中，不能存在两个完全一样的集合。
3. 所有选出的$m$个子集中，1到$n$每个元素出现的次数必须是偶数。

问有多少种不同的方法，两个子集 a 和 b 同种当且仅当将 a 的子集重新排列后可以得到 b

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分析

首先作为一道黑题，它还是具有它的难度的，因为是真的恶心。
首先不同就是个幌子，只要答案除以$m!$的阶乘就可以了。
设$dp[i]$表示前$i$个合法集合的方法数
第二，考虑容斥，若是偶数，那么第$i$个是唯一的，也就是前$i-1$个出现奇数次的，所以总共方案是$P_{2^n-1}^{i-1}$
然后，非空，那么当第$i$个集合为空时，那么方案数是$dp[i-1]$
接着不能存在完全一样的集合，若$j$与$i$重复，那么剩下的$i-2$个子集是合法方案，$j$有$i-1$种取值，第$j$个子集可以有$2^n-1-(i-2)$种方案，所以也就是$dp[i-2]\times (i-1)\times (2^n-i+1)$
综上所述，$$dp[i]=P_{2^n-1}^{i-1}-dp[i-1]-dp[i-2]\times (i-1)\times (2^n-i+1)$$
$dp[0]=1,dp[1]=0$（是真的骚）

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代码

#include <cstdio>
#define rr register
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=100000007;
inline ll ksm(ll x,ll y){
    rr ll ans=1;
    for (;y;y>>=1,x=x*x%mod)
        if (y&1) ans=ans*x%mod;
    return ans;
}
signed main(){
    rr int n,m; rr ll dp=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    rr ll mi=ksm(2,n),dp1=0,dp2=1,c=1,jc=1;
    for (rr int i=2;i<=m;++i){
    	rr ll t=mi-i+1+mod; c=c*t%mod,jc=jc*i%mod;
    	dp=((c-dp1-dp2*(i-1)%mod*t%mod)+mod)%mod,dp2=dp1,dp1=dp;
    }
    return !printf("%lld",dp*ksm(jc,mod-2)%mod);
}