#dp#洛谷 2467 JZOJ 1582 地精部落

最新推荐文章于 2024-11-11 19:05:41 发布

原创最新推荐文章于 2024-11-11 19:05:41 发布 · 187 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#洛谷 2467 地精部落 #JZOJ 1582 地精部落

线性dp 专栏收录该内容

99 篇文章

订阅专栏

本文深入探讨了一种特定排列计数问题的算法解决方案，通过分析排列的性质，提出了基于动态规划的方法来计算满足特定条件的排列数量。文章详细解释了算法的思路，包括如何利用性质进行状态转移，以及具体的实现代码。

题目

问有多少个 $1∼n1\sim n$ 的排列对于 $∀i\forall i$ 在 $1 < i < n$ 的情况下都满足 $a [i - 1] < a [i] > a [i + 1]$ 或 $a [i - 1] > a [i] < a [i + 1]$

分析

思维好题
首先考虑性质，

对于不相邻的两个数 $j, j + 1$ ，可以互换
合法的排列翻转依旧合法
把合法排列每个数 $j$ 都变成 $n - j + 1$ ，排列依旧合法

考虑dp，设 $d p [i] [j]$ 表示选择 $1∼i1\sim i$ ，第一个数为 $j$ ，且第一个数大于第二个数的方案，所以最后答案要乘2
因为 $j$ 和 $j - 1$ 在不相邻时可以互换，所以 $d p [i] [j]$ 可以由 $d p [i] [j - 1]$ 转移而来，接着如果 $j$ 和 $j - 1$ 相邻，那么也就转换成选择 $1∼i−11\sim i-1$ ，第一个数为 $j - 1$ ，且第一个数小于第二个数的方案，但是这和定义不符，考虑转换成选择 $1∼i−11\sim i-1$ ，第一个数为 $i - j + 1$ ，且第一个数大于第二个数的方案，因为如果进行第三条性质，那么原来大的反而小，初始化 $d p [2] [2] = 1$
综上所述， $d p [i] [j] = d p [i] [j - 1] + d p [i - 1] [i - j + 1]$

代码

#include <cstdio>
#define rr register
using namespace std;
int n,mod,dp[2][4211],ans;
inline signed mo(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
signed main(){
	scanf("%d%d",&n,&mod),dp[0][2]=1;
	for (rr int i=3;i<=n;++i)
	for (rr int j=2;j<=i;++j)
	    dp[i&1][j]=mo(dp[i&1][j-1],dp[(i&1)^1][i-j+1]);
	for (rr int i=2;i<=n;++i) ans=mo(ans,dp[n&1][i]);
	return !printf("%d",mo(ans,ans));
}