蓝桥杯2022年第十三届省赛真题-GCD

最新推荐文章于 2025-12-29 22:03:17 发布

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#蓝桥杯 #职场和发展

文章讲述了在给定正整数a和b的情况下，找到使gcd(a+k,b+k)最大的k值，利用更相减损术简化问题，提供C++代码示例。

题目 2682:

蓝桥杯2022年第十三届省赛真题-GCD

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题目描述

给定两个不同的正整数 a, b，求一个正整数 k 使得 gcd(a + k, b + k) 尽可能大，其中 gcd(a, b) 表示 a 和 b 的最大公约数，如果存在多个 k，请输出所有满足条件的 k 中最小的那个。

输入格式

输入一行包含两个正整数 a, b，用一个空格分隔。

输出格式

输出一行包含一个正整数 k。

样例输入

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样例输出

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提示

对于 20% 的评测用例，a < b ≤ 105 ；
对于 40% 的评测用例，a < b ≤ 109 ；
对于所有评测用例，1 ≤ a < b ≤ 1018 。

解题思路

gcd性质中，根据更相减损术可以知道一个等式：gcd(a,b)=gcd(a,b-a) 当然这里的前提时a<=b;所以gcd(a+k,b+k)=gcd(a+k,b-a) 这里的a和b都是已知的。我们可以设c=b-a 即c是已知的所以想要使得a+k与c的最大公因子尽可能地大。因为最大最大能到达c 。显然这个式子的最大gcd一定为 c ,我们只需要计算出a 最少需要增加多少可以成为 c 的倍数，这个增量即是答案k。

例如：

a=5,b=7；求出c=7-5=2；d=a/c=5/2=1；如果a,c还差几个数成为倍数，需要再进行求余数a%c - d++；最后求出其相差多少个数d*c-a；

实现代码

#include<iostream>
using namespace std; 

int main()

{
    long long a,b,c,d;

    cin>>a>>b;

    if(a>b){
        long long t=a;
        a=b;
        b=t;
    }
    c=b-a;
    d=a/c;

    if(a%c) 
        d++;

    cout<<d*c-a<<endl;
    return 0;
}