7-14 整数分解为若干项之和 (15分)（附详细讲解(不用递归的高效算法)）

将一个正整数N分解成几个正整数相加，可以有多种分解方法，例如7=6+1，7=5+2，7=5+1+1，…。编程求出正整数N的所有整数分解式子。
输入格式：
每个输入包含一个测试用例，即正整数N (0<N≤30)。
输出格式：
按递增顺序输出N的所有整数分解式子。递增顺序是指：对于两个分解序列N1={n1,n2,⋯}和N2={m1,m2,⋯}，若存在i使得n1=m1,⋯,ni=mi，但是ni+1<mi+1,则N1序列必定在N2序列之前输出。每个式子由小到大相加，式子间用分号隔开，且每输出4个式子后换行。

输入样例：
7
输出样例：
7=1+1+1+1+1+1+1;7=1+1+1+1+1+2;7=1+1+1+1+3;7=1+1+1+2+2
7=1+1+1+4;7=1+1+2+3;7=1+1+5;7=1+2+2+2
7=1+2+4;7=1+3+3;7=1+6;7=2+2+3
7=2+5;7=3+4;7=7

分析：
完成此样例的流程：1.不管输入的数是多大，第一个输出结果总是一串1，长度为输入的数的值，因此我们需要一个长度为n的数组（n为输入数的大小）装载输出结果，每成功装载一次，就输出。2.观察输入样例，我们发现:1+1+1+1+1+1+1，变为1+1+1+1+1+2，只需要把前式中最右边的1与右边第二个1相加，同时数组长度减一；1+1+1+1+1+2变为1+1+1+1+3，只需要把2与旁边的1相加，同时数组长度减一；1+1+1+1+3变为1+1+1+2+2，因为3-1等于2，2大于1,所以把将3左边第一个数增加一，3减为2；1+1+1+2+2变为1+1+1+4，因为2-2等于0小于2，所以把最右边的2与左边的2相加，数组长度减一；1+1+1+4变为1+1+2+3，因为4-1等于3,3大于1，同时小于4，所以4旁边的数加一，4减一；1+1+2+3变为1+1+5，因为3-2等于1，1小于2，所以将3与2相加；1+1+5变为1+2+2+2，因为5-1等于4，4大于3，所以在5左边的第一个数加一，同时根据题目要求(按递增顺序输出),我们要使数组尽量变长，并获得新的数组的长度！因此从第一个2开始，后面的数都不能小于2。1+2+2+2变为1+2+4，因为最右边两个2相减等于0,0小于2，所以把最右边的2与右边第二个2相加；1+2+4变为1+3+3，因为4减2等于2,2大于1，所以在4的右边第一个数加1……直到数组长度变为1(也就是出现n=n)。

代码展示如下：

#include<stdio.h>

void output(int* a,int len);

void output(int* a,int len)
{
	int i=0;
	for(i=0;i<len;++i)
		if(i==0)
			printf("%d",a[i]);
		else
			printf("+%d",a[i]);
	return;
}
int main(void)
{
	int n=0,i=0,len=0,origin=0,count=0,temp=0;
	int leap=1;
	int a[31]={0};

	scanf("%d",&n);
	len=n;
	origin=len;
	for(i=0;i<len;++i)
		a[i]=1;

	for(;;)
	{
	up:	if(leap!=1)
			printf(";");
		leap=0;
		printf("%d=",n);
		output(a,len);
		++count;
		if(count==4)
		{
			printf("\n");
			count=0;
			leap=1;
		}
		if(a[0]==n)
			break;
		
		if(a[len-1]-a[len-2]>=4)
		{
			++a[len-2];
			if(a[0]==n)
				goto up;
			--a[len-1];
			temp=a[len-1];
		
			for(i=len-1;i<origin;++i)
			{
				if((temp-a[len-2])<a[len-2]&&temp-a[len-2]!=0)
				{
					a[i]=temp;
					len=i+1;
					temp=0;
					goto up;
				}
				a[i]=a[len-2];
				temp=temp-a[len-2];
				if(temp==0)
				{
					len=i+1;
					goto up;
				}
			}
		}
		if(a[len-1]==a[len-2]||(a[len-1]-a[len-2]==1))
		{
			a[len-2]+=a[len-1];
			--len;
			if(a[0]>n)
				goto end;
		}
		else
		{
			a[len-1]-=1;
			a[len-2]+=1;
			if(a[0]>n)
				goto end;
		}
	}
end:
	return 0;
}

此算法比用传统方法(递归方法）要快，如果被分解的整数是60以上，差距会非常明显。同时本人发现可以改进此算法，即不使用自定义函数，改进后的算法还要更快，如果被分解的整数是60以上，差距会非常明显。

改进后的代码展示如下：

#include<stdio.h>

int main(void)
{
	int n=0,i=0,len=0,origin=0,count=0,temp=0;
	int leap=1;
	int a[30]={0};

	scanf("%d",&n);
	len=n;
	origin=len;
	for(i=0;i<len;++i)
		a[i]=1;

	for(;;)
	{
	up:	if(leap!=1)
			printf(";");
		leap=0;
		printf("%d=",n);
		for(i=0;i<len;++i)
		if(i==0)
			printf("%d",a[i]);
		else
			printf("+%d",a[i]);
		++count;
		if(count==4)
		{
			printf("\n");
			count=0;
			leap=1;
		}
		if(a[0]==n)
			break;
		if(a[len-1]-a[len-2]==1&&len==2)
		{
			a[len-2]+=a[len-1];
				--len;
			goto up;
		}
		if(a[len-1]-a[len-2]>=4)
		{
			++a[len-2];
			if(a[0]==n)
				goto up;
			--a[len-1];
			temp=a[len-1];
		
			for(i=len-1;i<origin;++i)
			{
				if((temp-a[len-2])<a[len-2]&&temp-a[len-2]!=0)
				{
					a[i]=temp;
					len=i+1;
					temp=0;
					goto up;
				}
				a[i]=a[len-2];
				temp=temp-a[len-2];
				if(temp==0)
				{
					len=i+1;
					goto up;
				}
			}
		}
		if(a[len-1]==a[len-2]||(a[len-1]-a[len-2]==1))
		{
			a[len-2]+=a[len-1];
			--len;
			if(a[0]>n)
				goto end;
		}
		else
		{
			a[len-1]-=1;
			a[len-2]+=1;
			if(a[0]>n)
				goto end;
		}
	}
end:
    return 0;
}

总结：改进后的算法解决了调用函数耗费时间的问题，是一个非常高效的算法。