生成函数

最新推荐文章于 2023-12-19 22:25:25 发布

ShɑΙteж

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分类专栏：数学

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本文深入探讨了生成函数在组合数学中的应用，包括普通生成函数和指数生成函数的定义及计算方法，通过实例讲解了如何利用生成函数解决复杂的组合计数问题。

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定义

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...$ 称 $f (x)$ 是序列 $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}...$ 的生成函数

题目

有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？

$1$ 个 $1$ 克砝码可以看成 $1+x^{1}$ ,1表示不取, $x^{1}$ 表示取一个重量为 $1$ 。
1个2克砝码可以看成 $1+x^{2}$ ，…
1个3克砝码可以看成 $1+x^{3}$ ，…
1个4克砝码可以看成 $1+x^{4}$ ，…
那么生成函数就是
$f(x)=(1+x^{1})(1+x^{2})(1+x^{3})(1+x^{4})$
$f(x)=1+x+x^{2}+2x^{3}+2x^{4}+2x^{5}+2x^{6}+2x^{7}+x^{8}+x^{9}+x^{10}$
这个函数中可以看出重量为3克的方案有两种，重量为7的方案有两种，重量为10的有1种。
不难发现指数表示重量，系数表示方案数。

特殊情况

当 $a$ = { $1, 1, 1, . . 1$ }时， $f(x)=1+x+x2+x3+x4+...=11−xf(x)=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...=\frac{1}{1-x}$
推广 $1(1−x)k=∑i=0∞Ci+k−1k−1xi=fk(x)\frac{1}{(1-x)^{k}}=\sum_{i=0}^{\infty}C_{i+k-1}^{k-1}x^{i}=f^{k}(x)$ （相当于从k个 $x^{0},x^{i}]$ 的集合中选择一些数，使得选出数的指数和为k的方案数）

斐波那契数列通项公式

$f(x)=x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+...$
$x⋅f(x)=x2+x3+2x4+3x4+...x\cdot f(x)=x^{2}+x^{3}+2x^{4}+3x^{4}+...$
$f(x)−x⋅f(x)=x+x3+x4+...=x+x2⋅f(x)f(x)-x\cdot f(x)=x+x^{3}+x^{4}+...=x+x^{2}\cdot f(x)$
$f(x)=11−x−x2=x(1−1−52x)(1−1+52x)=−1511−1−52x+1511−1+52xf(x)=\frac{1}{1-x-x^{2}}=\frac{x}{(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x)(1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)}=-\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x}+\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x}$
$an=−15(1−52)n+15(1+52)na_{n}=-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}+\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}$

指数生成函数

$ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+...+xnn!+...e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+...$
数列 $h_{0},h_{1},h_{2},...,h_{n}$ 的指数型生成函数为
$g(e)(x)=∑n=0∞hnxnn!=h0+h1x+h2x22!+...+hnxnn!+...g^{(e)}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}h_{n}\frac{x^{n}}{n!}=h_{0}+h_{1}x+h_{2}\frac{x^{2}}{2!}+...+h_{n}\frac{x^{n}}{n!}+...$

常用指数型生成函数闭形式

$1+x+x22!+x33!+...=ex1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...=e^{x}$
$1−x+x22!−x33!+...=e−x1-x+\frac{x^{2}}{2!}-\frac{x^{3}}{3!}+...=e^{-x}$
$1+x22!+x44!+x66!+...=ex+e−x21+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{x^{6}}{6!}+...=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
$x+x33!+x55!+x77!+...=ex−e−x2x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\frac{x^{7}}{7!}+...=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

定理

假设有k种元素(元素内不区分)，每一种分别有 $n_{1},n_{2},n_{3},...,n_{k}$ 个， $h_{n}$ 表示大小为n的排列有多少种情况，那么数列 $h_{0},h_{1},h_{2},...,h{n}$ 的指数型生成函数为：
$g^{(e)}(x)=f_{n_{1}}(x)f_{n_{2}}(x)...f_{n_{k}}(x)$
$fni(x)=1+x+x22!+x33!+...+xnini!f_{n_{i}}(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...+\frac{x^{n_{i}}}{n_{i}!}$
考虑把 $g^{(e)}(x)$ 展开，应该是如下形式：
$xm1m1!⋅xm2m2!⋅...⋅xmkmk!=xm1+m2+...+mkm1!⋅m2!⋅...⋅mk!\frac{x^{m_{1}}}{m_{1}!}\cdot \frac{x^{m_{2}}}{m_{2}!}\cdot...\cdot\frac{x^{m_{k}}}{m_{k}!}=\frac{x^{m_{1}+m_{2}+...+m_{k}}}{m_{1}!\cdot m_{2}!\cdot ... \cdot m_{k}!}$
设 $n=m_{1}+m_{2}+m_{3}+...+m_{k}$ ，则：
$xm1+m2+...+mkm1!⋅m2!⋅...⋅mk!=xnm1!⋅m2!⋅...⋅mk!=n!⋅xnm1!⋅m2!⋅...⋅mk!⋅n!=n!m1!⋅m2!⋅...⋅mk!xnn!\frac{x^{m_{1}+m_{2}+...+m_{k}}}{m_{1}!\cdot m_{2}!\cdot ... \cdot m_{k}!}=\frac{x^{n}}{m_{1}!\cdot m_{2}!\cdot ... \cdot m_{k}!}=\frac{n!\cdot x^{n}}{m_{1}!\cdot m_{2}!\cdot ... \cdot m_{k}!\cdot n!}=\frac{{n!}}{m_{1}!\cdot m_{2}!\cdot ... \cdot m_{k}!}\frac{x^{n}}{n!}$
对于 $n=m_{1}+m_{2}+m_{3}+...+m_{k}$ ，大小为 $n$ 的排列数就为:
$∑n!m1!⋅m2!⋅...⋅mk!\sum \frac{{n!}}{m_{1}!\cdot m_{2}!\cdot ... \cdot m_{k}!}$
证毕

指数生成函数例题

用红，白，蓝三种颜色给 $1 * n$ 的棋盘着色，要求红色的方格数是偶数，确定给这个棋盘着色的方法数
设 $h_{n}$ 表示这样的着色数，其中我们定义 $h_{0}=1$

令 $h_{n}$ 为有3种颜色（红，白，蓝）的多重集合的n排列数，其中每一种颜色可以使用 $∞\infty$ 次，且要求红色出现的次数是偶数。
我们能过得到一个生成函数：
$g(e)(x)=(1+x22!+x44!+...)(1+x11!+x22!+...)(1+x11!+x22!+...)g^{(e)}(x)=(1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+...)(1+\frac{x^{1}}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...)(1+\frac{x^{1}}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...)$
$g(e)(x)=12(ex+e−x)⋅e2x=12(e3x+ex)g^{(e)}(x)=\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})\cdot e^{2x}=\frac{1}{2}(e^{3x}+e^{x})$
$g(e)(x)=12(∑n=0∞3nxnn!+∑n=0∞xnn!)=12∑n=0∞(3n+1)xnn!g^{(e)}(x)=\frac{1}{2}(\sum_{n=0}^{\infty}3^{n}\frac{x^{n}}{n!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!})=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(3^{n}+1)\frac{x^{n}}{n!}$
$hn=3n+12h_{n}=\frac{3^{n}+1}{2}$