Horn1986年利用四元数求解旋转的记录

最新推荐文章于 2022-08-22 17:14:11 发布

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这篇笔记介绍了Horn1986年的论文，探讨如何使用四元数来求解旋转问题。通过对左右点集的中心点分离和平移处理，然后计算缩放和旋转矩阵，特别是利用四元数的性质来计算旋转R。四元数乘法、点积和共轭的概念在文中被提及，并阐述了如何用四元数表示旋转变换，以保持点积不变。

利用四元数求解旋转——Horn1986年论文笔记

先附上原文链接Closed-form solution of absolute orientation using unit quaternions

问题描述

有左右两个点集 $\mathbf{r}_l$ , $\mathbf{r}_r$ 。右点集由左点集经旋转 $R$ ，缩放 $s$ 平移 $T$ 后得到，且 $\mathbf{r}_{l,i}$ 与 $\mathbf{r}_{r,i}$ 对应。求 $R$ 与 $T$ ，使得

r r = s R (r l) + T

$\mathbf{r}_r=sR(\mathbf{r}_l)+T$
由于实际测得的点集有误差

ei=rr,i−sR(rl,i)−T e i = r r , i − s R ( r l , i ) − T $\mathbf{e}_i=\mathbf{r}_{r,i}-sR(\mathbf{r}_{l,i})-T$ ,所以问题可以转化为求

R R $R$ ，

s

$s$ ，

T T $T$ 以最小化目标函数

\sum_{i = 0}^{n} {‖ e_{i} ‖}^{2}

$\sum_{i=0}^n\left\lVert\mathbf{e}_i\right\rVert^2$
Horn在文章中给出了依次分离求解

T T $T$ ，

s

$s$ ，

R R $R$ 的解决思路。

解决方法

利用中心点分离T

计算左右两个点集的中心

{\bar{r}}_{l} = \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n} r_{l, i}, {\bar{r}}_{r} = \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n} r_{r, i}

$\overline{\mathbf{r}}_l=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n\mathbf{r}_{l,i},\overline{\mathbf{r}}_r=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n\mathbf{r}_{r,i}$
计算左右两个点集中每个点相对各自中心的位置

r' l, i = r l, i - r ⎯ ⎯ ⎯ l, r' r, i = r r, i - r ⎯ ⎯ ⎯ r

$\mathbf{r}_{l,i}'=\mathbf{r}_{l,i}-\overline{\mathbf{r}}_l,\mathbf{r}_{r,i}'=\mathbf{r}_{r,i}-\overline{\mathbf{r}}_r$
这样

ei e i $\mathbf{e}_i$ 可以表示为

e i = r' r, i - s R (r' l, i) - T', T' = T -

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