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最新推荐文章于 2019-07-16 11:31:00 发布

stone41123

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分类专栏： DP真的不会想贪心只能过样例

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贪心只能过样例

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本文介绍了一种将原始O(n^4)复杂度的动态规划问题优化到O(n)的方法。通过预处理最大子段和，利用前缀和技巧，并采用线性时间复杂度更新最优解，实现了高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这里写图片描述
这个题有一个很明显的 $O(n^4)$ 的暴力dp方程，我们考虑优化这个dp：
$f_i=max(sum_i-sum_j+sum_k-sum_l)(j<=i,k<=j,l<=k)$
后两个 $sum_k-sum_l$ 的值可以通过经典的最大子段和的dp做出来，记为 $mx_j$
然后就是这样了：
$f_i=max(sum_i-sum_j+mx_j)(j<=i)$
提出来 $sum_i$ ：
$f_i=sum_i+max(-sum_j+mx_j)(j<=i)$
后面那一段可以记录一个变量来 $O(1)$ 转移，然后时间就是 $O(n)$
代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0;char ch=' ';int f=1;
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline int lowbit(int x){
    return x&-x;
}
int n;
int a[100001];
int mx[100001];
int mxmx[100001];
int t[100001];
int sum[100001];
int f[100001];
int nm[100001];
int main(){
    freopen("safe.in","r",stdin);
    freopen("safe.out","w",stdout);
    n=read();
    int num=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=read();
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        num+=a[i];
        if(num>0){
            mx[i]=num;
        }
        else{
            num=0;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]<0&&mx[i]==0){
            mx[i]=a[i];
        }
    }
    int now=-0xfffffff;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        now=max(now,mx[i]);
        mxmx[i]=now;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        nm[i]=mxmx[i]-sum[i];
    }
    now=0;
    int ans=-0xfffffff;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        f[i]=sum[i]+now;
        now=max(now,nm[i]);
        ans=max(ans,f[i]);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}