BZOJ3083遥远的国度——树链剖分

最新推荐文章于 2022-07-15 00:11:01 发布

原创最新推荐文章于 2022-07-15 00:11:01 发布 · 204 阅读

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本文介绍了一种利用树链剖分与线段树解决特定问题的方法，包括如何处理子树最小值更新及查询，以及如何应对根节点变动的情况。通过详细解析和示例代码展示了算法的具体实现。

Description

zcwwzdjn在追杀十分sb的zhx，而zhx逃入了一个遥远的国度。当zcwwzdjn准备进入遥远的国度继续追杀时，守护神RapiD阻拦了zcwwzdjn的去路，他需要zcwwzdjn完成任务后才能进入遥远的国度继续追杀。

问题是这样的：遥远的国度有n个城市，这些城市之间由一些路连接且这些城市构成了一颗树。这个国度有一个首都，我们可以把这个首都看做整棵树的根，但遥远的国度比较奇怪，首都是随时有可能变为另外一个城市的。遥远的国度的每个城市有一个防御值，有些时候RapiD会使得某两个城市之间的路径上的所有城市的防御值都变为某个值。RapiD想知道在某个时候，如果把首都看做整棵树的根的话，那么以某个城市为根的子树的所有城市的防御值最小是多少。由于RapiD无法解决这个问题，所以他拦住了zcwwzdjn希望他能帮忙。但zcwwzdjn还要追杀sb的zhx，所以这个重大的问题就被转交到了你的手上。

Input

第1行两个整数n m，代表城市个数和操作数。
第2行至第n行，每行两个整数 u v，代表城市u和城市v之间有一条路。
第n+1行，有n个整数，代表所有点的初始防御值。
第n+2行一个整数 id，代表初始的首都为id。
第n+3行至第n+m+2行，首先有一个整数opt，如果opt=1，接下来有一个整数id，代表把首都修改为id；如果opt=2，接下来有三个整数p1 p2 v，代表将p1 p2路径上的所有城市的防御值修改为v；如果opt=3，接下来有一个整数 id，代表询问以城市id为根的子树中的最小防御值。

Output

对于每个opt=3的操作，输出一行代表对应子树的最小点权值。

Sample Input

3 7

1 2

1 3

1 2 3

3 1

2 1 1 6

3 1

2 2 2 5

3 1

2 3 3 4

3 1

Sample Output

提示

对于20%的数据，n<=1000 m<=1000。

对于另外10%的数据，n<=100000，m<=100000，保证修改为单点修改。

对于另外10%的数据，n<=100000，m<=100000，保证树为一条链。

对于另外10%的数据，n<=100000，m<=100000，没有修改首都的操作。

对于100%的数据，n<=100000，m<=100000，0<所有权值<=2^31。

这道题需要维护一棵子树的最小值，所以要用到线段树。并且要修改从x到y路径上的所有点值，所以我们很容易就想到树剖。又发现还要改根，所以就有DALAO想到了LCT或者TopTree。然而这些DALAO想的太多了。这道题其实只要用简单的树链剖分+线段树即可。

我们想没有改根的时候就是最简单的树链剖分，几乎就是板子。

我们要解决的就是改根的问题，我们可以分类讨论：

1.如果点x等于当前的root，直接输出线段树里的sum[1]即可。（包含所有点）

2.如果lca(x,root)!=x即root不在x的子树中，则依旧统计以x为根的子树。（自己画画图就知道）

3.如果lca(x,root)==x即root在x子树中，则进行补集转化，统计除了x的包含root的子树外的所有点。如图：（除了红色框起来的都要统计）

这里写图片描述

这样讨论之后就变成了普通的树剖，直接套板子。

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 400005
using namespace std;
int read(){
    char c;int x;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');x=c-'0';
    while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0';return x;
}
int n,m,cnt,root,dfn,rt;
int head[MAXN],nxt[MAXN],go[MAXN],sum[MAXN*4],add[MAXN*4],gran[MAXN][18];
int val[MAXN],son[MAXN],dep[MAXN],top[MAXN],fa[MAXN],tid[MAXN],rank[MAXN],siz[MAXN];
void addedge(int x,int y){
    go[cnt]=y;nxt[cnt]=head[x];head[x]=cnt;cnt++;
    go[cnt]=x;nxt[cnt]=head[y];head[y]=cnt;cnt++;
}
void dfsI(int x,int father){
    fa[x]=father;son[x]=-1;
    siz[x]=1;dep[x]=dep[father]+1;
    gran[x][0]=father;
    for(int i=1;(1<<i)<=dep[x];i++) gran[x][i]=gran[gran[x][i-1]][i-1];
    for(int i=head[x];i!=-1;i=nxt[i]){
        int to=go[i];
        if(to==fa[x]) continue;
        dfsI(to,x);siz[x]+=siz[to];
        if(son[x]==-1||siz[to]>siz[son[x]]) son[x]=to;
    }
}
void dfsII(int x,int t){
    top[x]=t;tid[x]=++dfn;rank[dfn]=val[x];
    if(son[x]==-1) return;
    dfsII(son[x],t);
    for(int i=head[x];i!=-1;i=nxt[i]){
        int to=go[i];
        if(to==fa[x]||to==son[x]) continue;
        dfsII(to,to);
    }
}
void up(int node){sum[node]=min(sum[node<<1],sum[node<<1|1]);}
void down(int node){
    if(add[node]){
        sum[node<<1]=sum[node<<1|1]=add[node];
        add[node<<1]=add[node<<1|1]=add[node];
        add[node]=0;
    }
}
void build(int node,int l,int r){
    if(l==r){
        sum[node]=rank[l];return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(node<<1,l,mid);
    build(node<<1|1,mid+1,r);
    up(node);
}
void update(int node,int l,int r,int L,int R,int ad){
    if(L<=l&&r<=R){
        sum[node]=ad;add[node]=ad;return;
    }
    down(node);
    int mid=(l+r)>>1;
    if(L<=mid) update(node<<1,l,mid,L,R,ad);
    if(R>mid) update(node<<1|1,mid+1,r,L,R,ad);
    up(node);
}
int query(int node,int l,int r,int L,int R){
    if(L<=l&&r<=R){
        return sum[node];
    }
    down(node);
    int mid=(l+r)>>1,res=2147483647;
    if(L<=mid) res=min(res,query(node<<1,l,mid,L,R));
    if(R>mid) res=min(res,query(node<<1|1,mid+1,r,L,R));
    return res;
}
void upLINK(int u,int v,int ad){
    while(top[u]!=top[v]){
        if(dep[top[u]]>dep[top[v]]) swap(u,v);
        update(1,1,n,tid[top[v]],tid[v],ad);
        v=fa[top[v]];
    }
    if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
    update(1,1,n,tid[u],tid[v],ad);
}
int lca(int x,int y){
    if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    for(int i=17;i>=0;i--)
     if(dep[x]<=dep[gran[y][i]]) y=gran[y][i];
    for(int i=17;i>=0;i--)
     if(gran[x][i]!=gran[y][i]) x=gran[x][i],y=gran[y][i];
    if(x!=y) x=gran[x][0],y=gran[y][0];
    return x;
}
int queryLINK(int x,int type){
    if(type) return query(1,1,n,tid[x],tid[x]+siz[x]-1);
    else{
        int res=2147483647;
        for(int i=head[x];i!=-1;i=nxt[i]){
            int to=go[i];
            if(to==fa[x]) continue;
            if(lca(root,to)==to){
                if(tid[to]-1>=1) res=min(res,query(1,1,n,1,tid[to]-1));
                if(tid[to]+siz[to]<=n) res=min(res,query(1,1,n,tid[to]+siz[to],n));
            }
        }
        return res;
    }
}
int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<n;i++){
        int x=read(),y=read();
        addedge(x,y);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) val[i]=read();
    root=read();rt=root;
    dfsI(root,0);
    dfsII(root,root);
    build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int type=read();
        if(type==1) root=read();
        if(type==2){
            int u=read(),v=read(),ad=read();
            upLINK(u,v,ad);
        }
        if(type==3){
            int x=read();
            if(x==root) printf("%d\n",sum[1]);
            else{
                if(lca(x,root)==x) printf("%d\n",queryLINK(x,0));
                else printf("%d\n",queryLINK(x,1));
            }
        }
    }
    return 0;
}