【BZOJ 4127】Abs（树链剖分，线段树）

题目

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Description

给定一棵树,设计数据结构支持以下操作
$1uvd$ 表示将路径 $(u,v)$ 加 $d$
$2uv$ 表示询问路径 $(u,v)$ 上点权绝对值的和

Input

第一行两个整数 $n$ 和 $m$，表示结点个数和操作数
接下来一行 $n$ 个整数 $a_i$,表示点 $i$ 的权值

接下来 $n-1$ 行,每行两个整数 $u,v$ 表示存在一条 $(u,v)$ 的边

接下来 $m$ 行,每行一个操作,输入格式见题目描述

Output

对于每个询问输出答案

Sample Input

4 4
-4 1 5 -2
1 2
2 3
3 4
2 1 3
1 1 4 3
2 1 3
2 3 4

Sample Output

10
13
9

Hint

对于 $100\%$ 的数据，$n,m<=10^5$ 且 $0<=d,|a_i|<=10^8$

思路

树链剖分+线段树，考虑如何维护这棵线段树。
由于这题是绝对值和，维护 lazytag 时，正负性不容易处理，考虑往区间和上靠。
注意到：区间绝对值之和 $=$ $2\times$区间正数和 $-$ 区间和，所以本题转化成了维护区间正数和。
在线段树中，需要再维护几个东西：

1. maxf：区间最大的负数
2. sum：区间正数和
3. num：区间正数的个数
4. tag：sum 的懒标记
5. tagg：maxf 的懒标记（一开始大e了，没有闪，忘了 maxf 也是要下传懒标记的了）

修改时，注意到每一次增加的量 $d\ge 0$，所以每一个数只会被从负数变成正数一次，那么这样的操作最多总共只会出现 $n$ 次，对于这些操作，我们就将线段树递归到底，暴力修改。

而对于其余的操作，我们只需正常的区间修改即可。

如何判断一次操作后，区间内有负数变成正数呢？这就用到了 maxf，如果 $maxf+d>0$，就说明有数从负变正，否则没有。

正数区间我们就将 maxf=-inf，这样 也许？ 可以避免一些麻烦？（还是要很多特判，我也因此晕蛋了，对拍了 2h）

细节比较多，考虑清楚，注意好懒标记的下传，注意好 sum 和 num 的维护，记得即使是 $maxf+d<0$ 的操作中，可能是有正数也有负数的区间，依旧要维护 sum。

时间复杂度：对于由负变正的操作，单次操作 $O(logn)$，总操作