【USACO DEC09】电视游戏问题

最新推荐文章于 2024-07-12 23:03:03 发布

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#c++ #动态规划

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本文介绍了一个关于游戏平台和游戏选择的问题，目标是在限定预算下通过合理选购不同的游戏平台及其游戏，以达到最大化奶牛们产奶量的目标。采用动态规划的方法解决此问题，通过定义状态转移方程并逐步迭代求解。

【USACO DEC09】电视游戏问题

题目

农夫约翰的奶牛们游戏成瘾！本来FJ是想要按照陶叫兽的做法拿她们去电击戒瘾的，可是后来他发现奶牛们玩游戏之后比原先产更多的奶。很明显，这是因为满足的牛会产更多的奶。
但是，奶牛们在哪个才是最好的游戏平台这个问题上产生了巨大的分歧。一只奶牛想要买一台Xbox 360来跑《光晕3》；另外一只奶牛想要一台任天堂Wii来跑《任天堂明星大乱斗X》；第三只奶牛想要在PlayStation 3上面玩《潜龙谍影4》，顺便还能看某些高画质的日本电影。
FJ想要在给定的预算内购入一些游戏平台和一些游戏，使他的奶牛们生产最多的奶牛以养育最多的孩子。
FJ研究了 $N$ （1 <= $N$ <= 50）种游戏平台，每一种游戏平台的价格是 $P_i$ （1 <= $P_i$ <= 1000），并且每一种游戏平台有 $G_i$ （1 <= $G_i$ <= 10）个只能在这种平台上运行的游戏。很明显，奶牛必须先买进一种游戏平台，才能买进在这种游戏平台上运行的游戏。每一个游戏有一个游戏的价格 $GP_j$ （1 <= $GP_j$ <= 100）并且有一个产出值 $PV_j$ （1 <= $PV_j$ <= 1000000），表示一只牛在玩这个游戏之后会产出多少牛奶。
最后，农夫约翰的预算为 $V$ （1 <= $V$ <= 100000），即他最多可以花费的金钱。请帮助他确定应该买什么游戏平台和游戏，使得他能够获得的产出值的和最大。
考虑下面的数据，有 $N$ 种游戏平台，并且有 $V$ =$800预算。第一种游戏平台花费$300并且有两个游戏，价格分别为$30和$25，它们的产出值如下所示:
游戏 # 花费产出值
1 $30 50
2 $25 80
第二种平台价格为$600，并且只有一种游戏:

游戏 # 花费产出值
1 $50 130
第三种平台价格为$400，并且有三种游戏:

游戏 # 花费产出值
1 $40 70
2 $30 40
3 $35 60
农夫约翰应该买第1和第3种平台，并且买平台1的游戏2，还有平台3的游戏1和游戏3。使得
最后他最后的产出值最大，为210:

产出值
预算: $800
平台 1 -$300
游戏 2 -$25 80
平台 3 -$400
游戏 1 -$40 70
游戏 3 -$35 60
—————————
总计: 0 (>= 0) 210

Input

第1行：两个由空格隔开的整数： $N$ 和 $V$
第2到第 $N + 1$ 行：第 $i + 1$ 行表示第 $i$ 种游戏平台的价格和可以在这种游戏平台上面运行的游戏。包含： $P_i$ ， $G_i$ 还有 $G_i$ 对由空格隔开的整数 $GP_j$ ， $PV_j$

Output

第1行：农夫约翰在预算内可以得到的最大的产出值。

Sample Input

3 800
300 2 30 50 25 80
600 1 50 130
400 3 40 70 30 40 35 60

Sample Output

210

题解

依赖背包。
先设 $F_{i,j,k}$ 表示当前做到第i个游戏平台的第j个游戏，花费k的最大价值。
则有 $Fi,j,k=PVi,j+max{Maxl=1i−1.o=1GiFl,o,k−GPi,j−Pi,Maxo=1j−1Fi,o,k−GPi,j}F_{i,j,k}=PV_{i,j}+max\left \{ Max_{l=1}^{i-1}._{o=1}^{G_{i}}F_{l,o,k-GP_{i,j}-P_{i}},Max_{o=1}^{j-1}F_{i,o,k-GP_{i,j}} \right \}$
然后我们发现， $m a x$ 中的值可以分别用两个数组，即 $l_{k}=Max_{l=1}^{i-1}._{o=1}^{G_{i}}F_{l,o,k-GP_{i,j}-P_{i}}$ ， $r_{k}=Max_{o=1}^{j-1}F_{i,o,k-GP_{i,j}}$ 。
所以，我们可以一边推出 $F$ ，一边更新 $r$ 。当一个游戏平台枚举完后，就将 $r$ 赋值给 $l$ 即可。

Code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int l[100005],r[100005],num[55],val[55],a[55][15][2],n,v,ans;
inline int read()
{
	int an=0,ww=1;
	char ch=getchar();
	while ((ch<'0')||(ch>'9'))
	{
		if (ch=='-')ww=-1;
		ch=getchar();
	}
	while ((ch>='0')&&(ch<='9'))
	{
		an=(an<<3)+(an<<1)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return an*ww;
}
int main()
{
	freopen("vidgame.in","r",stdin);
	freopen("vidgame.out","w",stdout);
	n=read();v=read();
	for (register int i=1;i<=n;i++)
	{
		val[i]=read();num[i]=read();
		for (register int j=1;j<=num[i];j++)a[i][j][0]=read(),a[i][j][1]=read();
	}
	for (register int i=1;i<=v;i++)l[i]=-1;
	for (register int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (register int j=1;j<=v;j++)r[j]=-1;
		r[0]=-1;
		for (register int j=1;j<=num[i];j++)
		{
			for (register int k=v;k>=a[i][j][0];k--)
			{
				if ((k>=a[i][j][0]+val[i])&&(max(r[k-a[i][j][0]],l[k-a[i][j][0]-val[i]])>=0))
				{
					r[k]=max(r[k],a[i][j][1]+max(r[k-a[i][j][0]],l[k-a[i][j][0]-val[i]]));
				}
				else if (r[k-a[i][j][0]]>=0)r[k]=max(r[k],a[i][j][1]+r[k-a[i][j][0]]);
			}
		}
		for (register int j=0;j<=v;j++)l[j]=max(l[j],r[j]);
	}
	for (register int i=0;i<=v;i++)ans=max(ans,l[i]);
	printf("%d",ans);
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}