71、循环簇图中的最大积置信传播及MAP问题的线性优化

循环簇图中的最大积置信传播及MAP问题的线性优化

1. 循环簇图中的最大积置信传播

1.1 带计数数的最大积算法

在消息传递算法中，计数数起着重要作用。在之前定义的和积消息传递算法里，计数数用于指定在能量泛函的熵近似中，不同变量子集的熵项的计数程度。对于给定的一组计数数，可以通过对能量泛函的拉格朗日函数求导，并结合和积校准约束得到的不动点方程来推导消息传递算法。标准的置信传播算法是基于贝特能量近似得到的，不同的计数数会产生不同的消息传递算法。

可以将和积消息传递算法转换为最大积变体，只需将每个求和操作替换为最大化操作。下面给出在贝特结构簇图中使用最大积BP进行校准的算法：

Procedure Generalized-MP-BP (
    Φ,  // Set of factors
    R,  // Set of regions
    {κr}r∈R, {κi}Xi∈X  // Counting numbers
)
1. ρi ← 1/κi
2. ρr ← 1/κr
3. Initialize-CGraph
4. while region graph is not max-calibrated
5.     Select Cr and Xi ∈ Cr
6.     δi→r(Xi) ← 
        [ (∏r′≠r δi→r′(Xi))^ρi * (maxCr−Xi ψr(Cr) * (∏Xj∈Cr,j≠i δj→r)^ρr) ] ^ (-1 / (ρi + ρr))
7.     for each region r ∈ R ∪ {1, ..., n}
8.         β