70、循环簇图中的最大积信念传播

循环簇图中的最大积信念传播

1. 基础理论铺垫

在进行最大积信念传播算法的详细介绍之前，我们需要先理解一些基础的理论知识。对于一个函数 $\varphi$ 的最大边缘分布，如果存在 $z^ $ 使得 $\psi$ 达到最优值，那么当 $\varphi(y^ ) = \psi(z^ )$ 时，有 $\left(\frac{\varphi}{\psi}\right)(y^ ) = 1$。对于任意其他赋值 $y$ 以及赋值 $z = y\langle Z\rangle$，存在两种情况：
- 若 $z$ 的值由 $y$ 得到，那么 $\varphi(y) = \psi(z)$，此时 $\left(\frac{\varphi}{\psi}\right)(y) = 1$。
- 若 $z$ 的值由其他值更大的 $y’$ 得到，那么 $\varphi(y) < \psi(z)$，此时 $\left(\frac{\varphi}{\psi}\right)(y) < 1$。

无论哪种情况，都有 $\left(\frac{\varphi}{\psi}\right)(y) \leq \left(\frac{\varphi}{\psi}\right)(y^*)$。

我们还可以将团树分布以有向的方式重写。选择一个根团 $C_r$，对于每个非根团 $i$，设 $\pi(i)$ 为其在根团树中的父团。将每个分隔集 $S_{i,\pi(i)}$ 分配给子团 $i$，这样就得到了团树分布的重写形式：$\beta_r(C_r)\prod_{i\neq r}\frac{\beta_i(C_i)}{\mu_{i,\pi(i)}(S_{i,\pi(