13、从分布到图：贝叶斯网络中的映射与完美映射探索

从分布到图：贝叶斯网络中的映射与完美映射探索

在贝叶斯网络的研究中，将概率分布与图结构进行关联是一个重要的课题。我们常常需要根据给定的分布来构建合适的图，以捕捉分布中的独立性信息。接下来，我们将深入探讨从分布到图的构建过程，以及完美映射的相关内容。

1. 不同排序下构建最小 I - 映射

在构建图时，我们会根据不同的节点排序来逐步添加节点，并判断边的冗余性。这里以分布 (P_{Bstudent}) 为例，考虑三种不同的排序方式。

• 排序一：D, I, S, G, L
  • 首先添加节点 D，接着添加 I。由于该分布满足 ( (I \perp D) )，即 I 给定其其他父节点（这里为空集）时与 D 独立，所以可以移除从 D 到 I 的边。
  • 然后添加 S，因为 ( (S \perp D | I) )，可移除从 D 到 S 的边。
  • 再添加 G，由于 ( (G \perp S | I, D) )，移除从 S 到 G 的边。
  • 最后添加 L，移除从 D、I、S 到 L 的所有边。最终得到的图就是图 3.8a，恰好是该分布的原始网络。
• 排序二：L, S, G, I, D
  • 先添加 L，它作为排序中的第一个变量，成为根节点。
  • 考虑 S 时，因为学生推荐信的质量与 SAT 分数相关，且 S 没有其他父节点使其与 L 独立，所以需要添加从 L 到 S 的边。
  • 引入 G