30、线性代数中的特征值、特征向量与矩阵分解

线性代数中的特征值、特征向量与矩阵分解

线性代数作为数学领域的重要分支，在计算机科学、物理学、工程学等众多领域都有着广泛的应用。其中，特征值、特征向量以及矩阵分解等概念更是线性代数中的核心内容，它们为解决复杂的数学和实际问题提供了强大的工具。

特征值与特征向量的基础概念

在对称矩阵中，每一对特征向量都是相互正交的，就像平面中的x轴和y轴一样。两个向量正交的定义是它们的点积为零，例如(0, 1) · (1, 0) = 0，以及之前例子中的(2, -1) · (1, 2) = 0。

特征向量在n维空间中可以扮演维度或基的角色，这为矩阵带来了许多几何解释。任何矩阵都可以进行编码，其中每个特征值代表其关联特征向量的大小。

特征值的计算方法

对于一个秩为n的矩阵，其n个不同的特征值可以通过分解其特征方程来找到。从定义等式AU = λU开始，当我们乘以单位矩阵I时，等式保持不变，即AU = λIU → (A - λI)U = 0。

以一个具体的矩阵为例：
[
A - \lambda I =
\begin{bmatrix}
-5 - \lambda & 2 \
2 & -2 - \lambda
\end{bmatrix}
]

由于等式(A - λI)U = 0在向量U乘以任何标量值c时仍然成立，这意味着存在无限多个解，因此该线性系统是欠定的。在这种情况下，矩阵的行列式必须为零。对于一个2×2矩阵，行列式就是交叉乘积ad - bc，所以：
[
(-5 - \lambda)(-2 - \lambda) - 2