16、统计分布与数据分析：从基础到应用

统计分布与数据分析：从基础到应用

在数据分析的世界里，统计分布是理解数据特征和行为的重要工具。不同的统计分布适用于不同类型的数据和场景，它们能帮助我们预测事件发生的概率、评估数据的显著性等。下面将深入探讨几种常见的统计分布及其应用。

1. 正态分布与智商分析

正态分布是一种常见且重要的分布，许多自然现象和人类特征都近似服从正态分布，例如智商（IQ）。智商的均值为 100，标准差 σ = 15。根据正态分布的特性，95%的人口智商在均值的 2σ 范围内，即 70 到 130 之间；99.7%的人口智商在均值的 3σ 范围内，也就是 55 到 145 之间。

假设世界人口为 70 亿，随机选一个人是最聪明的人的概率约为 1.43 × 10⁻¹⁰，这相当于一个样本距离均值超过 6.5σ 的概率。按照这个计算，世界上最聪明的人的智商大约为 197.5。然而，这种计算的可靠性取决于我们对智商是否真的服从正态分布的信任程度，因为在极端情况下，这种模型可能会失效。

2. 泊松分布及其应用

泊松分布用于衡量稀有事件之间的间隔频率。以人类寿命为例，假设每天停止呼吸的概率为 1 - p，那么恰好活 n 天的概率为 Pr(n) = pⁿ⁻¹(1 - p)，预期寿命为：
[
\mu = \sum_{k = 0}^{\infty} k \cdot Pr(k)
]

泊松分布基于均值 μ，其概率质量函数为：
[
Pr(x) = \frac{e^{-\mu} \mu^x}{x!}
]

许多情况可以用泊松分布来建模，比如灯泡的使用寿命和家庭孩子的数量。对于灯泡，若平均寿命