7、数学基础：对数的应用与生物信息学案例

数学基础：对数的应用与生物信息学案例

1. 对数在概率乘法中的应用

对数最初是作为计算辅助工具被发明的，它将乘法问题转化为加法问题。例如，要计算乘积 $p = x · y$，可以先计算对数之和 $s = \log_b x + \log_b y$，然后取对数的逆运算（即 $b$ 的 $s$ 次幂）得到 $p$，因为 $p = x · y = b^{(\log_b x + \log_b y)}$。

在处理长链概率乘法时，这种方法尤为重要。概率通常是较小的数，长链概率相乘会得到极小的数，这在实际计算机的浮点乘法中会导致严重的数值稳定性问题。而对概率的对数求和在数值上更加稳定，并且能得到等价的结果，即 $\prod_{i = 1}^{n} p_i = b^P$，其中 $P = \sum_{i = 1}^{n} \log_b(p_i)$。如果需要得到实际概率，可以对求和结果进行指数运算，但通常在比较两个概率大小时，直接比较对数大小即可，因为较大的对数对应较大的概率。

需要注意的是，除了 $\log(1) = 0$ 外，概率的对数都是负数，这就是为什么包含概率对数的方程中常常会在奇怪的地方出现负号。

以下是对数在概率乘法中应用的流程：
1. 计算每个概率的对数。
2. 将这些对数相加。
3. 如果需要实际概率，对求和结果进行指数运算。

2. 对数与比率

比率是形如 $a/b$ 的量，在数据集里常作为基本特征或由特征对导出的值出现。比率在数据归一化时自然产生，比如根据条件（如某种处理后的重量与初始重量之比）或时间（如今日价格与昨日价格之比）进行归一化。

然而，比率在反映增加和减少时