46、图论与云计算任务调度算法研究

图论与云计算任务调度算法研究

图论相关研究

在图论的研究中，有多个重要的概念和结论。首先是关于图的独立分解数。对于某些图 $U_n$，可以很容易验证其没有两个顶点具有相同的度量表示，所以 $ir(U_n) \leq 3$。又根据相关定理，$ir(U_n) \geq dim(U_n) = 3$，从而得出 $ir(U_n) = 3$。对于三类凸多面体图，其独立分解数是一个常数，即 3。不过，刻画允许独立分解集的图类仍是一个待解决的问题。

接下来重点介绍平面图形的符号循环控制相关内容。设 $G = (V, E)$ 是一个图，函数 $f : E \to {-1, 1}$ 若满足对于图 $G$ 中的每个诱导循环 $C$，都有 $\sum_{e\in E(C)} f(e) \geq 1$，则称 $f$ 为符号循环控制函数（SCDF）。符号循环控制数 $\sigma(G)$ 定义为 $\sigma(G) = \min \left{\sum_{e\in E} f(e) : f 是 G 的 SCDF\right}$。

以下是一些重要的结论和定理：
1. 引理 1 ：
- 对于阶数 $n \geq 3$ 的最大外平面图 $G$，有 $\sigma(G) \geq 1$。
- 对于阶数 $n \geq 3$ 的最大平面图 $G$，有 $\sigma(G) \geq n - 2$。
2. 猜想 1 ：若 $G$ 是阶数 $n \geq 3$ 的最大平面图，则 $\sigma(G) = n - 2$。但该猜想已被证明不成立。
3. 定理 1 ：