35、矩阵知识与R语言实现

矩阵知识与R语言实现

1. 矩阵逆的计算

1.1 2×2矩阵的逆

对于一个2×2矩阵 $\begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix}$，其逆矩阵为 $\frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d & -b\-c & a\end{pmatrix}$，前提是 $ad - bc \neq 0$。读者可以验证这两个矩阵的乘积确实是2×2的单位矩阵。

1.2 QR分解求逆

通常不直接计算矩阵的逆。一种常见的替代方法是QR分解：对于矩阵A，计算矩阵Q和R，使得 $A = QR$，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。如果A是方阵且可逆，则 $A^{-1} = (QR)^{-1} = R^{-1}Q’$。

2. 特征值和特征向量

2.1 定义

设A是方阵，满足 $AX = \lambda X$ 的标量 $\lambda$ 和非零向量X分别称为A的特征值和特征向量。

2.2 可对角化条件

如果A是对称实矩阵，则它是可对角化的，即存在正交矩阵U，使得 $U’AU = D$，其中D是对角矩阵。D的元素是A的特征值，U的列是A的特征向量（缩放为长度1）。另一个充分条件是A的特征值不同，在这种情况下，U不一定是正交的。

3. 矩阵的秩

3.1 定义

矩阵A的秩是A中线性无关列的最大数量。

3.2 性质

• $rank(A’) = rank(A)$
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