11、图的圈积的均匀分划有向二部图分解及循环图的最小布局

图的圈积的均匀分划有向二部图分解及循环图的最小布局

图的圈积的均匀分划有向二部图分解

在图论中，图的圈积的均匀分划有向二部图分解是一个重要的研究方向。对于特定的图结构，我们可以通过一些方法来实现其 $\overrightarrow{K_{p,q\oplus q}}$ - 分解。

必要条件

设 $m\geq3$ 且 $n,p,q\geq2$ 为给定整数。若 $(K_m\circ K_n)^ $ 存在 $\overrightarrow{K_{p,q\oplus q}}$ - 分解，则有以下条件：
- 条件 (a) ：当 $p = q$ 时，$mn\equiv0(\bmod 3p)$。
- 条件 (b) ：当 $m = 3$，$p + 2q\equiv0(\bmod 3)$ 且 $d = (p,q)$ 时，$n\equiv0(\bmod\frac{p + 2q}{3}\frac{pq}{d})$。
- 条件 (c) ：当 $m = 3$，$p + 2q\not\equiv0(\bmod 3)$ 且 $d = (p,q)$ 时，$n\equiv0(\bmod\frac{pq(p + 2q)}{d})$。
- 条件 (d) *：当 $m > 3$，$p\neq q$ 且 $d = (p,q)$ 时，$n\equiv0(\bmod\frac{pq}{d}\frac{p + 2q}{d})$。

证明过程如下：设 $V_1,V_2,\cdots,V_m$