23、回归分析中的变量效应分解与处理方法

回归分析中的变量效应分解与处理方法

在回归分析中，我们常常会遇到各种复杂的情况，比如未观测到的预测变量、多个随机效应以及多重推断等问题。下面将详细介绍一些处理这些问题的方法。

1. 未观测预测变量的处理

在回归分析里，未观测到的预测变量可能会对结果产生影响。例如，在教育年限的例子中，距离变量与能力无关的假设就存在争议。有观点认为，有能力的孩子往往来自有能力的父母，而有能力的父母会认为大学很重要，从而选择住在大学附近。这也说明了工具变量（IV）方法为何存在争议。不过，未观测变量的潜在影响本身就可能使分析充满争议，IV 方法可用于尝试解决这类问题，但使用时需格外谨慎。

1.1 随机效应模型

为了处理未观测变量，我们可以采用随机效应模型。考虑一个常见的线性回归模型：
[E(Y | X = t) = β_0 + β_1t]
其中，(β_0) 和 (β_1) 是需要从数据中估计的未知常数。现在对模型进行修改，让 (β_0) 成为随机变量，每个单位（如每个人）都有不同的值，但 (β_1) 对所有人都相同。我们可以将新模型写成：
[E(Y | X = t) = β_0 + B + β_1t]
这里，(B) 是均值为 0 的随机变量，每个人的 (B) 值不同，此时人们的截距成为均值为 (β_0)、方差为 (\sigma^2_B) 的随机变量。更常见的写法是：
[Y = β_0 + α + β_1X + ϵ]
其中，(α) 和 (ϵ) 的均值为 0，方差分别为 (\sigma^2_a) 和 (\sigma^2_e)。需要从数据中估计的总体值包括 (β_0)、(β_1)、(\sigma^2_a) 和 (\sigma^