12、同方差性及相关问题的实践探讨

同方差性及相关问题的实践探讨

1. 年龄与性别对评分的影响

在相关研究中，年龄和性别对评分行为存在一定影响。年龄方面，年龄越大的人发布的评分越少，每增加 10 岁，发布的评分大约减少 8 个。不过，与平均发布评分数量（约 106.0445 个）相比，这只是一个适度的下降。而性别方面，女性平均比男性少评 16.8 部电影，这一差异较为显著。

2. 同方差假设的问题

2.1 以身高和体重为例

以棒球运动员的数据为例，我们直观地认为高个子的人体重的变化比矮个子的人更大。通过以下代码计算不同身高组的体重样本标准差：

library(freqparcoord)
data(mlb)
m70 <- mlb[mlb$Height >= 70 & mlb$Height <= 77, ]
sds <- tapply(m70$Weight, m70$Height, sd)
plot(70:77, sds)

结果呈现出明显的上升趋势，这表明同方差假设并不合理。普通最小二乘法（OLS）对 $\beta$ 的统计推断基于同方差假设，但在实际中，该假设很少成立。

2.2 相关问题的提出

由于同方差假设难以成立，我们需要考虑以下几个问题：
- 同方差假设的偏离是否会显著影响基于 OLS 统计推断程序的有效性？
- 能否估计函数 $\sigma^2(t)$ 并用于加权最小二乘法（WLS）分析？
- 能否针对异方差情况修改 OLS 的协方差公式？

3.