74、优化算法：梯度下降、牛顿法与拟牛顿法详解

优化算法：梯度下降、牛顿法与拟牛顿法详解

在解决无约束优化问题时，有多种算法可供选择，每种算法都有其独特的优势和适用场景。本文将详细介绍梯度下降法、牛顿法以及拟牛顿法，并深入探讨它们的原理、算法步骤和特点。

1. 梯度下降法

梯度下降法，也称为最速下降法，是解决无约束优化问题最常用的方法之一，其优势在于实现简单。

1.1 原理

假设 $f(x)$ 是一个具有一阶连续偏导数的函数，无约束优化问题的目标是找到 $x \in \mathbb{R}^n$ 使得 $f(x)$ 最小，记为 $\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x)$，其中 $x^*$ 表示目标函数的最小值点。

梯度下降是一种迭代算法，首先选择合适的初始值 $x^{(0)}$，然后不断迭代更新 $x$ 的值，使目标函数逐渐减小直至收敛。由于负梯度方向是函数值下降最快的方向，因此在每次迭代中，沿负梯度方向更新 $x$ 的值，以达到降低函数值的目的。

若第 $k$ 次迭代的值为 $x^{(k)}$，则 $f(x)$ 在 $x^{(k)}$ 附近的一阶泰勒展开式为：
[f(x) = f(x^{(k)}) + g_k^T (x - x^{(k)})]
其中 $g_k = \nabla f(x^{(k)})$ 是 $f(x)$ 在 $x^{(k)}$ 处的梯度。

第 $k + 1$ 次迭代的值 $x^{(k + 1)}$ 计算如下：
[x^{(k + 1)} = x^{(k)} + \lambda_k p_k]
其中 $p_k$ 是搜索方向，取负梯度方向 $p_k = - \nabla f(x