4、数值优化方法入门：梯度下降与牛顿法

数值优化方法入门：梯度下降与牛顿法

在数值优化领域，我们常常需要寻找一个函数的最小值。这不仅在数学理论中有着重要地位，在机器学习、工程设计等实际应用中也扮演着关键角色。本文将深入介绍两种常用的数值优化方法：梯度下降法和牛顿法，并探讨它们的原理、应用及相关注意事项。

数值算法的停止条件

在使用数值算法进行优化时，确定合适的停止条件至关重要。以下是两种常见的停止条件：
- 预设迭代次数 ：这是一种较为简单直接的方法，即在达到预先设定的迭代次数后停止算法。然而，这种方法并不能保证算法收敛，通常会与其他停止条件结合使用，以防止在收敛缓慢的情况下迭代次数过多。
- 接近驻点 ：当函数的梯度近似为零时，意味着我们可能已经找到了一个驻点。此时可以停止算法。另外，如果继续迭代不能显著降低目标函数的值，也可以考虑停止。

梯度下降法

梯度下降法是一种广泛应用的数值优化方法，其核心思想是通过迭代逐步降低函数的值，最终找到函数的驻点。
- 原理 ：从一个初始点 $w_0$ 开始，构建函数 $g$ 在该点的一阶泰勒级数近似：
[h (w) = g(w_0) + \nabla g(w_0)^T (w - w_0)]
然后，沿着切线超平面下降最快的方向（即负梯度方向 $-\nabla g(w_0)$）移动一小段距离，到达新的点 $w_1$：
[w_1 = w_0 - \alpha_1\nabla g(w_0)]
其中，$\alpha_1$ 是一个正的常数，称为步长（有时也称为学习率），它控制着每次迭代下降