69、潜在狄利克雷分配（LDA）的变分EM算法详解

潜在狄利克雷分配（LDA）的变分EM算法详解

1. 引言

在处理包含隐藏变量的模型时，变分推理和变分EM算法是常用的学习和推理方法。潜在狄利克雷分配（LDA）模型可以使用变分EM算法进行学习，该算法在推理和学习方面具有较高的效率。下面将详细介绍变分推理、变分EM算法以及如何将其应用于LDA模型的学习。

2. 变分推理

2.1 基本概念

变分推理是贝叶斯学习中处理隐藏变量模型的常见方法，与马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法不同。MCMC通过随机采样近似计算模型的后验概率，而变分推理则通过解析方法进行近似计算。

假设模型的联合概率分布为 $p(x, z)$，其中 $x$ 是观测变量（数据），$z$ 是隐藏变量（包括参数）。目标是学习模型的后验概率分布 $p(z|x)$ 并用于概率推理。但由于该分布复杂，直接估计其参数较为困难。因此，使用概率分布 $q(z)$ 近似条件概率分布 $p(z|x)$，并使用KL散度 $D(q(z) || p(z|x))$ 计算两者的相似度，$q(z)$ 被称为变分分布。若能找到在KL散度意义下最接近 $p(z|x)$ 的分布 $q^ (z)$，就可以用它来近似 $p(z|x)$，即 $p(z|x) \approx q^ (z)$。

2.2 KL散度与证据下界

KL散度可以表示为：
[
\begin{align }
D(q(z) || p(z|x)) &= E_q[\log q(z)] - E_q[\log p(z|x)] \
&= E_q[\log q(z)] - E_q[\lo