47、机器学习中的聚类与奇异值分解

机器学习中的聚类与奇异值分解

1. 聚类相关练习

在聚类分析领域，有一些值得深入探讨的练习题目。以下是具体的题目内容：
1. 编写划分聚类算法 ：尝试编写一个划分聚类算法，以自顶向下的方式对数据进行聚类，并给出该算法的复杂度。
2. 证明聚类定义的关联性 ：证明类或簇的四个定义中的第一个定义能推导出其他三个定义。
3. 证明 k - means 解的数量性质 ：证明公式（这里虽未给出具体公式编号，但已知要证明的内容）成立，即 k - means 可能的解的数量是指数级的。
4. 比较聚类方法 ：比较 k - means 聚类与高斯混合模型加 EM 算法的异同点。

这些练习有助于深入理解聚类算法的原理和性能。

2. 奇异值分解（SVD）概述

奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种矩阵分解方法，它源于线性代数领域，但在机器学习中作为重要工具被广泛应用。例如，主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）和潜在语义分析（Latent Semantic Analysis，LSA）都涉及到 SVD。

任何一个 $m \times n$ 的矩阵都可以表示为三个矩阵的乘积（分解），分别是一个 $m$ 阶正交矩阵、一个 $m \times n$ 的矩形对角矩阵（其非负对角元素按降序排列）和一个 $n$ 阶正交矩阵，这就是矩阵的奇异值分解。矩阵的奇异值分解一定存在，但不唯一。SVD 可以看