31、深入理解EM算法：原理、推导与应用

深入理解EM算法：原理、推导与应用

1. EM算法简介

在处理包含隐藏变量的概率模型时，我们常常需要估计模型参数，而最大似然估计是一种常用的方法。然而，当存在隐藏变量时，直接最大化观测数据的对数似然函数往往会变得非常困难。EM（Expectation-Maximization）算法就是为解决这类问题而提出的一种迭代算法，它可以逐步逼近观测数据的最大似然估计。

1.1 上Q函数的定义

上Q函数是EM算法中的一个重要概念。给定观测数据 $Y$ 和当前参数 $\theta^{(i)}$，未观测数据 $Z$ 的条件概率分布为 $P(Z|Y,\theta^{(i)})$，则完整数据的对数似然函数 $\log P(Y,Z|\theta)$ 在该条件概率分布下的期望被称为上Q函数，记为：
[Q(\theta,\theta^{(i)}) = E_Z[\log P(Y,Z|\theta)|Y,\theta^{(i)}]]

1.2 EM算法的步骤

EM算法主要包括以下四个步骤：
1. 参数初始化 ：参数的初始值可以任意选择，但需要注意的是，EM算法对初始值比较敏感。
2. E步（期望步） ：计算上Q函数 $Q(\theta,\theta^{(i)})$。在这个函数中，$Z$ 是未观测数据，$Y$ 是观测数据。需要注意的是，$Q(\theta,\theta^{(i)})$ 的第一个变量 $\theta$ 表示待最大化的参数，第二个变量 $\theta^{(i)}$ 表示当前的参数估计值。每次迭代实际上就是求解上Q函数及其最大值。
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