28、AdaBoost算法解析：原理与实现

AdaBoost算法解析：原理与实现

1. AdaBoost算法的误差分析

在AdaBoost算法中，存在这样一个不等式关系：
$\prod_{m = 1}^{M} \sqrt{(1 - 4\gamma_{m}^{2})} \leq \exp(- 2\sum_{m = 1}^{M} \gamma_{m}^{2})$
这个不等式中的 $\sqrt{(1 - 4\gamma_{m}^{2})} \leq \exp(- 2\gamma_{m}^{2})$ 可以通过 $e^{x}$ 和 $\sqrt{1 - x}$ 在 $x = 0$ 处的泰勒展开式推导得出。

由此引出推论：如果存在 $\gamma > 0$，使得对于所有的 $m$ 都有 $\gamma_{m} \geq \gamma$，那么
$\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} I(G(x_{i}) \neq y_{i}) \leq \exp(- 2M\gamma^{2})$

这表明在这种条件下，AdaBoost的训练误差会以指数速率下降，这无疑是非常有吸引力的特性。值得注意的是，AdaBoost算法并不需要知道下界 $\gamma$，这是Freund和Schapire在设计AdaBoost时的考虑。与一些早期的提升方法不同，AdaBoost具有自适应性，即它能够适应弱分类器的个体训练误差率，这也是其名称（自适应提升）的由来，“Ada” 是 “Adaptive” 的缩写。

2. 前向分步算法

前向分步算法是理解AdaBoost算法的一个重要基础。我们考虑如下的加法模型：
$f(x) = \sum_{m = 1}^{M} \b