3、高阶数值范围与 NMR 量子计算相关知识解析

高阶数值范围与 NMR 量子计算相关知识解析

高阶数值范围相关内容

在矩阵的研究中，高阶数值范围有着重要的地位。我们先来看一个例子，若矩阵 (A \in M_8) 的特征值为 (1, w, \cdots, w^7)，其中 (w = e^{i2\pi/8})，那么 (\Lambda_2(A) = conv{w, -w, iw, -iw} \cap conv{1, -1, i, -i})，且 (\Lambda_4(A) = {0})。这里有一些相关的备注：
- 若把 (A) 变为 (A’)，使得 (X = A’ - A) 的范数较小，那么很可能 (\Lambda_4(A’) = \varnothing)。
- 若 (X = A’ - A) 的秩较低，会有更好的扰动结果。

实际上，可以通过对所有秩为 (r) 的矩阵 (X)（特定类型）求 (\Lambda_{k - r}(A + X)) 的交集来确定 (\Lambda_k(A))，相关定理如下：
设 (A \in M_n) 且 (1 \leq r < k \leq n)，令 (S \subseteq {X \in M_n : rank(X) \leq r}) 包含所有形如 (\mu P) 的矩阵，其中 (|\mu| = 2\lVert A\rVert) 且 (P \in P_r)（(P_r) 是 (M_n) 中秩为 (r) 的正交投影集合），则有：
- (\Lambda_k(A) = \cap{\Lambda_{k - r}(A + F) : F \in S})。
- (\Lambda_k(A) = \cap{\Lambda_{k - 1}(A + 2e^{i\xi}\lVert A\rVert P)