生成函数求通项公式

生成函数求通项公式：

不妨以斐波那契数列生成函数求斐波那契数列为例子，斐波那契数列为

$$f_i=f_{i-1}+f_{i-2},f_0=0,f_1=1$$

设他的生成函数为F(x)，那么有

$$\begin{gathered} F(x)=f_0+f_{1}x+f_2{x}^2+..... \\ xF(x)=f_{0}x+f_1{x}^2+f_2{x}^3+.... \\ {x}^{2}F(x)=f_0{x}^2+f_1{x}^3+f_2{x}^4+.... \end{gathered}$$

由于$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$，原式为

$$(1+x+x^2)F(x)=f_0+f_{1}x+f_{0}x+2\times (f_2{x}^2+f_3{x}^3+....)$$

配凑得到

$$(1+x+x^2)F(x)=f_{0}x-f_0-f_{1}x+2\times (f_0+f_{1}x+f_2{x}^2+...)$$

即

$$(1+x+x^2)F(x)=-x+2\times F(x)$$

即

$$F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$$

有了生成函数，我们只需要把他转换为如下的幂级数形式，我们就可以知道通项公式，幂级数形如

$$a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+....$$

这恰好就是函数的麦克劳林展开式，那么接下来的任务就是对$F(x)$泰勒展开，这个形式是非常困难的，并且我们只需要展开分母，分子是已经展开好的，也就是我们需要展开$f(x)=\frac{1}{1-x-x^2}$

考虑对分母因式分解，设方程$1-x-x^2=0$的两个根为$x_1,x_2$，那么就有

$$f(x)=\frac{1}{(x-x_1)(x-x_2)}=-\frac{1}{x_1-x_2}\times (\frac{1}{x-x_1}-\frac{1}{x-x_2})$$

容易求得两根为

$$x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$$

麦克劳林展开时，有如下展开式

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+.....$$

从而原式中$\frac{1}{x-x_1}$这一项可以展开为

$$\frac{1}{x-x_1}=-\frac{1}{x_1-x}=-\frac{1}{x_1}\times \frac{1}{1-\frac{x}{x_1}}=-\frac{1}{x_1}\times \sum _{i=0}^{\infty }(\frac{x_{}}{x1}{)}^i$$

因此，原式展开为

$$F(x)=-\frac{1}{x_1-x_2}\times (-\frac{1}{x_1}\times \sum _{i=0}^{\infty }(\frac{x}{x_1}{)}^i+\frac{1}{x_2}\times \sum _{i=0}^{\infty }(\frac{x}{x_2}{)}^i)$$

因为$F(x)=xf(x)$，所以

$$F(x)=-\frac{1}{x_1-x_2}\times (-\frac{1}{x_1}\times \sum _{i=0}^{\infty }(\frac{x}{x_1}{)}^i+\frac{1}{x_2}\times \sum _{i=0}^{\infty }(\frac{x}{x_2}{)}^i)\times x$$

要求第$n$项系数，取$i=n-1$，系数为

$$-\frac{1}{x_1-x_2}\times (-\frac{1}{x_1^n}+\frac{1}{x_2^n})=\frac{1}{\sqrt{5}}\times (-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n+(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n)$$

最后即

$$f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\times ((\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n)$$