2021威海ccpc G 组合计数

组合数学在食物分配问题的应用

最新推荐文章于 2025-12-05 14:37:41 发布

原创最新推荐文章于 2025-12-05 14:37:41 发布 · 449 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#算法 #c++

本文探讨了一种特定的食物分配问题，通过组合数学的方法计算不同队伍间多种食物的分配方案数量。考虑到每种食物每队最多只能拿取一份的情况，文章提出了一种基于快速幂优化的高效算法。

题意：

有 $n$ 种食物，分给 $k$ 个队，每个队拿取食物时每种食物最多拿一份，可以不拿，当 $k = 1, 2.... m$ 时，有多少种分配方法使得所有食物都分配给了所有队？ $(∑i=1na[i]≤100000)(\sum_{i=1}^{n}a[i]\leq100000)$

Solution：

设 $ma x 1 = ma x (a [i])$

既然每个队最多每种拿一份，那么当 $k≥max1k\geq max1$ 时才可能分配完全，此时每种食物 $i$ 必然分配给 $k$ 个队的是 $a [i]$ 个1和 $k - a [i]$ 个0，这样每个队在这种食物的分配可能就有 $C_{k}^{a[i]}$ 种，那么总可能即 $Πi=1nCka[i]\Pi_{i=1}^{n}C_{k}^{a[i]}$ ，这样的话计算一个 $k$ 的时间复杂度是 $O (n)$ ，那么总复杂度是 $O (nm)$

正解只是加了一个小优化，因为 $a [i]$ 总和不超过 $100000$ ，这样必然会有一些 $a [i]$ 一样的，于是把这些 $a [i]$ 一样的写在一起，他们的乘积就可以用快速幂，我用了一个 $ma p$ 保存，每次都遍历完 $ma p$ 的元组，时间复杂度是 $O (能过)$ ，用了800+ms，把 $ma p$ 写成数组加桶形式应该会更快

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=5e4+5;
const long long mod=998244353;

ll qpow(ll a,ll b)
{
	ll ret=1,base=a;
	while(b)
	{
		if(b&1) ret=ret*base%mod;
		base=base*base%mod;
		b>>=1;
	}
	return ret;
}

ll fac[100005],invfac[100005];
ll inv(ll k){return qpow(k,mod-2);}
ll C(int n,int m){return fac[n]*invfac[m]%mod*invfac[n-m]%mod;}

int n,m,a[N],max1;
map<int,int>map1;

int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		max1=max(max1,a[i]);
		map1[a[i]]++;
	}
	for(int i=(invfac[0]=fac[0]=1);i<=N;i++)
	{
		fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
		invfac[i]=inv(fac[i]);
	}
	for(int i=1;i<max1;i++) printf("0\n");
	for(int i=max1;i<=m;i++)
	{
		ll ans=1;
		for(auto j:map1) ans=ans*qpow(C(i,j.first),1ll*j.second)%mod;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}