2022牛客第一次I题，牌类期望dp

最新推荐文章于 2025-11-24 04:50:43 发布

原创最新推荐文章于 2025-11-24 04:50:43 发布 · 111 阅读

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#算法 #c++ #动态规划

该博客分析了一种麻将游戏的策略问题，玩家初始持有13张手牌，共有34种牌每种4张。目标是通过替换手牌凑成7对，博主给出了动态规划的解决方案，描述了状态转移方程，并提供了C++代码实现，计算凑满7对的期望摸牌次数。

题意：

有34种麻将，每种有4张，初始有13张手牌，每次可以从摸牌堆中摸一张来替换已有的一张牌，给出初始手牌，求凑满7对的期望摸牌次数。

分析：

对于凑出一对，我们一定是在手牌里第一次摸到的那张与第二次摸到组成一对，假如我们持有一张手牌A，现在的目标是摸到另外一张牌A，不幸在下次我们摸到了手牌B来替换手牌A，那么此时我们的目标变成了：摸到第二张牌B，目标仍与先前一致：摸到第二张的某种牌。于是设 $d p [i] [j]$ 为目前凑出了 $i$ 对，摸牌堆剩余有 $j$ 张，凑出7对的期望次数为 $d p [i] [j]$ ，那么现在摸一次牌，可能性只有两种：这一次摸到了某一种手牌的第二张，那么期望次数就是“这一次”+“下一个状态的期望次数”，即 $1 + d p [i + 1] [j - 1]$ ，也可能摸到的牌还是某种牌的第一张，那么转移到的状态就是“凑齐 $i$ 对，摸牌堆剩余有 $j$ 张的期望次数”，即 $d p [i] [j - 1]$ 。另外需要初始化边界，当我们凑齐了7对，也就是 $d p [7] [i]$ 的次数就是0，当我们位于某种状态 $d p [i] [j]$ ，摸牌堆最小的数量应该是我们当前有的单张手牌的数量 $×3\times 3$ （每一次都很倒霉，都没摸到，当剩余的手牌数量都是我们的单张牌的对应牌是获得最小数量），因此 $d p [i] [j]$ 的 $j$ 的可能取值应该是 $[3 * (13 - 2 i), 123]$ ,123为初始牌堆数量。在我们牌堆数量获得最小时，我们是百发百中的，因此此时的转移方程是 $dp[i][j]=(dp[i+1][j−1]+1)%moddp[i][j]=(dp[i+1][j-1]+1)\%mod$

总转移方程：

当 $j≠3(13−2i)j\not= 3(13-2i)$ 时， $dp[i][j]=(dp[i+1][j−1]+1)∗3(13−2i)j+(dp[i][j−1]+1)∗(1−3(13−2i)j)%mod，dp[i][j]=(dp[i+1][j-1]+1)*\frac{3(13-2i)}{j}+(dp[i][j-1]+1)*(1-\frac{3(13-2i)}{j})\%mod，$

否则， $dp[i][j]=(1+dp[i+1][j−1])%moddp[i][j]=(1+dp[i+1][j-1])\%mod$

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

ll read()
{
	ll ret=0,base=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))
	{
		if(ch=='-') base=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))
	{
		ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-48;
		ch=getchar();
	}
	return ret*base;
}

const long long mod=1e9+7;

ll qpow(ll a,ll b)
{
	ll ret=1,base=a;
	while(b)
	{
		if(b&1) ret=ret*base%mod;
		base=base*base%mod;
		b>>=1;
	}
	return ret;
}

ll inv_ele(ll a)
{
	return qpow(a,mod-2);
}

ll dp[10][150],inv[150];
char s[200];

int solve()
{
	scanf("%s",s+1);
	map<pair<char,char>,int>map1;
	int ret=0;
	for(int i=1;i<=25;i+=2)
	{
		map1[make_pair(s[i],s[i+1])]++;
		if(map1[make_pair(s[i],s[i+1])]==2) ret++;
	}
	return ret;
}

int main()
{
	//13张牌，凑出7对
	//dp[i][j]:凑出i组，还剩j张牌，获胜的期望回合
	for(int i=1;i<=123;i++) inv[i]=inv_ele(i);
	for(int i=6;i>=0;i--)
	{
		for(int j=3*(13-2*i);j<=123;j++)
		{
			if(j==3*(13-2*i)) dp[i][j]=(dp[i+1][j-1]+1)%mod;
			else dp[i][j]=((1+dp[i+1][j-1])*(39-6*i)%mod*inv[j]%mod+(1+dp[i][j-1])*(j-39+6*i)%mod*inv[j]%mod)%mod;
		}
	}
	int t;scanf("%d",&t);
	for(int i=1;i<=t;i++) printf("Case #%d: %lld\n",i,dp[solve()][123]);
 	return 0;
}