Codeforces 689D 二分+思维

使用二分查找优化区间最值查询

原创已于 2022-07-08 21:48:35 修改 · 175 阅读

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#算法

于 2022-07-08 21:44:37 首次发布

这篇博客介绍了如何利用二分查找优化区间最值查询问题，特别是在处理大量区间查询时，通过预处理ST表并利用单调性，极大地提高了算法效率。文章详细讲解了如何构建ST表、如何进行左右端点的二分查找以及防止ST表越界的方法，展示了具体的C++代码实现。

由于询问所有区间，可以考虑遍历所有区间，暴力遍历的方法是固定左端点，伸展右端点：

for(int i=1;i<n;i++)
{
    for(int j=i;j<=n;j++)
    //此时[i,j]就是一个遍历的区间
}

而遍历区间的时候要查询这个区间的最值，由于这个最值是不修改的，所以用st表的效率是最高的，所以预处理st表来查询区间最值。

同时，发现有一个规律，在伸展右端点的时候，a的最大值一定会不减，因为每伸展一个右端点就是加入一个新元素，加入新元素可以使原有的最大值变大或不变，一定不会变小，同理b的最小值也一定是不会变大的，这样就有了单调性，可以用二分加速这个枚举右端点的过程。

用两次二分，找出符合条件的最左端点，注意[i,i]也是合法区间，所以二分的左边界是i，右边界就是数组边界n。

记 max1为二分时的mid与i的区间[i,mid]的最大值，min1为最小值

对第一次二分找的是符合条件的左端点：

如果max1>=min1，就减少右区间，r=mid-1，并且在max1==min1的时候记录ans，否则就l=mid+1

对第二次是找符合条件的右端点：

因此max1>min1的时候减少右区间，r=mid-1，否则就减少左区间，记得在max1==min1的时候记录答案。

另外，st[i][j]的右端点是i+(1<<j)-1而非1+(1<<j)，会导致越界st表出错。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int read()
{
	int ret=0,base=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))
	{
		if(ch=='-') base=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))
	{
		ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-48;
		ch=getchar();
	}
	return ret*base;
}

int n,a[200005],b[200005],st1[200005][22],st2[200005][22];
long long ans;

int log2(int x)
{
	return (int)(log(x)/log(2));
}

int get_max(int l,int r)
{
	int len=log2(r-l+1);
	return max(st1[l][len],st1[r-(1<<len)+1][len]);
}

int get_min(int l,int r)
{
	int len=log2(r-l+1);
	return min(st2[l][len],st2[r-(1<<len)+1][len]);
}

int check1(int ll)
{
	int l=ll,r=n,ret=-1;
	while(l<=r)
	{
		int mid=l+r>>1;
		int max1=get_max(ll,mid),min1=get_min(ll,mid);
		if(max1>=min1)
		{
			if(max1==min1) ret=mid;
			r=mid-1;
		}
		else l=mid+1;
	}
	return ret;
}

int check2(int ll)
{
	int l=ll,r=n,ret=-1;
	while(l<=r)
	{
		int mid=l+r>>1;
		int max1=get_max(ll,mid),min1=get_min(ll,mid);
		if(max1>min1) r=mid-1;
		else
		{
			if(max1==min1) ret=mid;
			l=mid+1;
		}
	}
	return ret;
}

int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) st1[i][0]=a[i]=read();//max
	for(int i=1;i<=n;i++) st2[i][0]=b[i]=read();
	for(int j=1;j<=21;j++)
	{
		for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
		{
			st1[i][j]=max(st1[i][j-1],st1[i+(1<<j-1)][j-1]);
			st2[i][j]=min(st2[i][j-1],st2[i+(1<<j-1)][j-1]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int pos1=check1(i),pos2=check2(i);
		if(pos1!=-1&&pos2!=-1) ans+=pos2-pos1+1;
	}
	cout<<ans;
 	return 0;
}