CSP-S 复习总结 ---- DP

前言：最近刷了一些水题…

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CH5E26
题意：一副不含王的扑克牌由52张牌组成，由红桃、黑桃、梅花、方块4组牌组成，每组13张不同的面值。现在给定 52 张牌中的若干张，请计算将它们排成一列，相邻的牌面值不同的方案数
计数 $dp$
考虑到剩 1 张花色，剩 2 张花色 … 本质是一样的
令 $f_{a,b,c,d}$ 表示还剩 $a$ 种剩一个花色的，$b$ 种剩两个花色的
如果选一个只剩一种花色的
$f_{a,b,c,d}=a\ast f_{a-1,b,c,d}$
选剩两种花色的
$f_{a,b,c,d}=2\ast b\ast f_{a+1,b-1,c,d}$
等等，好像会算重
考虑上一次选的什么，发现与这一层有关的，只与上一层剩几个花色有关
如果上一层选的剩 3 种花色的，那么这一层就有一种 2 种花色的不能选
于是记录 $las$
$f_{a,b,c,d}=(a-[las=2])\ast f_{a-1,b,c,d}$
$f_{a,b,c,d}=2\ast (b-[las=3])\ast f_{a+1,b-1,c,d}$
$f_{a,b,c,d}=3\ast (c-[las=4])\ast f_{a,b+1,c-1,d}$
$f_{a,b,c,d}=4\ast d\ast f_{a,b,c+1,d-1}$

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HDU 2196
给一棵树，求从每一个点出发的最长距离 $n\le 1e5$
先做一遍树形 $dp$，求出每个点向下的最长路径
考虑从祖先转移过来的，为 $max$ ( 祖先向下的最长路，祖先继续向上的最长路）
等等，好像出锅了，如果祖先向下的最长就是自己呢
于是还要处理出次长链，两次 dp 就可以了

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IOI 2000 邮局
题意：选出 $m$ 个邮局，$n$ 个村庄，每个村庄会走到离它最近的邮局，问总代价的最小值
暴力转移：
$f_{i,j}=f_{k,j-1}+cost(k+1,i)$
首先有一个不是正解的东西：
考虑到选的邮局越多就一定越优，于是可以让每选一个邮局就加上一个 $mid$，然后二分 $mid$ 直到选出来的个数正好是 $m$，俗称 $dp$ 凸优化
正解：四边形不等式
感性理解：令 $f_{i,j}$ 的决策点为 $p_{i,j}$，则 $p_{i,j-1}\le p_{i,j}\le p_{i+1,j}$
因为如果少了一个邮局，就更加分散，决策点更靠前
所有当前的决策点在 $[p_{i,j-1},p_{i+1,j}]$，对复杂度的贡献就是 $p_{i+1,j}-p_{i,j-1}$，求个和可以证明是 $O(nm)$

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POJ 1191
拆方差
${\sum }_{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2=n\ast {\overline{x}}^2+{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-2\ast n\ast {\overline{x}}^2$
需要最小化 ${\sum }_{i=1}^n{x}_i^2$
$f_{x1,y1,x2,y2,k}$ 表示当前矩阵，还可以分割 $k$ 次的最小代价
枚举横切还是竖切，记忆化搜索

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POJ 1390
题意：给你一个颜色块序列，每次你可以删除一些相同颜色并且相邻的颜色块，并获得删除数目平方的收益，现在给你一个颜色块序列，问收益最大是多少？
挺好的题，比较容易想到区间 $dp$，$f_{l,r}$ 表示区间 $[l,r]$ 的最优方案
发现没法转移，考虑加维度
$f_{l,r,k}$ 表示 $[l,r]$，$r$ 后有 k 个更它颜色相同的块的最优方案
枚举当前是见好就收还是放手一搏
$f_{l,r,k}=max(f_{l,r-1,0}+k^2,f_{l,p,cn{t}_p+k}+f_{p+1,r-1,0})(co{l}_p=co{l}_i)$

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POJ 2288
题意：给出 n 个点，m 条边。每个点有一个权值 w。找出一条汉密尔顿路径，使它的值最大
一条汉密尔顿路径的值由三部分组成：
路径上每个点的权值之和
路径上每条边u-v，将其权值的积累加起来。即 $w[u]\ast w[v]$
如果三个点形成一个三角形，例如 i，i+1，i+2，那么将$w[i]\ast w[i+1]\ast w[i+2]$累加起

考虑如何加入三角形的贡献，需要加两维，$f_{S,i,j}$ 表示当前状态，上一个是 $i$，上上个是 $j$ 的最大贡献
枚举下一个转移即可

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POJ 2374
自己写的时候从上往下 dp，细节有点多，其实可以倒过来，从下往上走
$d{p}_{i,0/1}$ 表示走到第 i 层，在左 / 右端点的最小长度
显然只能由它的端点往下走碰到的第一块来转移
于是走过一块就在线段树上更新，权值为它的层数，转移的时候线段树上查一个 $max$ 即可

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POJ 3252
数位$dp$，$f_{i,j,k}$ 表示到了第 i 位，有 j 个 0，k 个 1 的个数
前导 0 不能算到 0 的贡献里，记忆化搜索就过了

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POJ 3709
首先如果要缩一段的话，一定缩成开头
$f_i$ 表示缩到 i 的最小代价，枚举从哪一个开始缩
$f_i=min(f_j+su{m}_i-su{m}_j-(i-j)\ast a_{j+1})$
斜率优化即可

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SCOI 2010 股票交易
$f_{i,j}$ 表示到第 i 天，有 j 份股票的最大收益，枚举从哪一天转移，当前是买进还是买出，转移前的股票数
买进：$f_{i,j}=max(f_{p,k}-(j-k)\ast a{p}_i)(p\in [1,i-w-1],k\in [j-a{s}_i,j))$
卖出：$f_{i,j}=max(f_{p,k}+(k-j)\ast b{p}_i)(p\in [1,i-w-1],k\in (j,j+b{s}_i])$
$p$ 用前缀 $max$，每次 $f_{i,j}=max(f_{i,j},f_{i-1,j})$ 即可
然后括号拆开就可以单调队列了

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CF1103D Professional layer
题意简述：给 n 个二元组和一个 k。 二元组 $(a_i,e_i)$表示第i个位置的权值是 ai，贡献是 ei。 现在对于每个位置可以让它的权值除以它自己一个不超过k的约数，要求从n个数中选择若干个数出来，使得它们的权值在除以约数过后的 $gcd$为 1，花费的代价是选出来的选择数的个数乘上选出来的所有数的贡献和

考虑到最后的 $gcd$ 一定是一个不超过 $1e12$ 的数
$gcd$ 可以分解为不超过 12 个约数
又有状压约数集合的影子
令 $gcd=p_1^{a_1}\ast p_2^{a_2}\ast ...\ast p_k^{a_k}$
对于一个要记入答案的数 $val$
令 $val=t\ast p_1^{b_1}\ast p_2^{b_2}\ast ...\ast p_k^{b_k}$
我们选了它更优当且仅当它可以把一个或多个 $b_i$ 消成 0
这样一来，每个数至少去掉一个 $p_i$
因此最多选择 12 个数就可以把 $gcd$ 消为 1
令 $f_{i,S}$ 表示选了 i 个数，已经消去的 $gcd$ 的集合为 $S$ 的方案数
然后就可以枚举超集转移

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CF1106E Lunar New Year and Red Envelopes
$f_{i,j}$ 表示到 i，干扰了 j 次的最小贡献
枚举当前干不干扰转移即可，预处理 $nx{t}_i$ 表示 i 能转移到哪里
$f_{i,j}+w[i]---f_{nxt[i],j}$
$f_{i,j}---f_{i+1,j+1}$

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CF1111D Destroy the Colony
发现如果不限制的话 $ans=f_{n/2}\ast \frac{(n/2)!\ast (n/2)!}{\prod cn{t}_i}$
$f_i$ 表示用所有数组成 i 的方案数，可以背包
考虑预处理答案，每次强制两个不选，然后做一遍，复杂度 $O(52^3\ast n)$
然后学了一个叫背包回退的东西

void ins(int x){ for(int i = n/2; i >= x; i--) Add(f[i], f[i-x]);}
void del(int x){ for(int i = x; i <= n/2; i++) Del(f[i], f[i-x]);}

插两个数的答案时暴力删除，变成了 $O(52^2\ast n)$

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小总结：
总的来说还是一些比较基础的模板类的题
主要复习了一下：
计数 $dp$，数位 $dp$，单调队列，斜率优化，状压
区间 $dp$，数据结构优化，树形 $dp$
对四边形不等式的套路有了一些理解
然后有几道巧妙的加状态的题
见识了一些背包回退
深化了状压质因数的套路
在状态定义上的功夫还差得远…