bzoj 4517: [Sdoi2016]排列计数

最新推荐文章于 2020-01-13 20:23:43 发布

ssl_lyy

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分类专栏：排列组合

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本文探讨了如何计算满足特定条件的序列数量，包括选择稳定数的方法和剩余数的错排算法。通过组合数学和递推关系式解决了复杂的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：
1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次
若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的
满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7 取模。

Input

第一行一个数 T，表示有 T 组数据。
接下来 T 行，每行两个整数 n、m。
T=500000，n≤1000000，m≤1000000

Output

输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

Sample Input

Sample Output

Solution

显 然 ， 选 m 个 稳 定 的 数 的 方 案 数 为 C m n, 剩 余 n - m 个 数 要 错 排

$显然，选m个稳定的数的方案数为C_n^m,剩余n-m个数要错排$

设 g (n) 表 示 n 个 数 错 排 的 答 案 ， 考 虑 把 n 放 在 位 置 k 上, 这 样 有 （ n - 1 ） 种 方 案

$设g(n)表示n个数错排的答案，考虑把n放在位置k上,这样有（n-1）种方案$

1. 把 k 放 在 n 位 置 上 ， 就 是 剩 下 的 （ n - 2 ） 个 数 错 排

$1.把k放在n位置上，就是剩下的（n-2）个数错排$

2. 把 k 放 在 不 为 n 的 位 置 上 ， 即 剩 下 （ n - 1 ） 个 数 错 排

$2.把k放在不为n的位置上，即剩下（n-1）个数错排$

所 以 ， g (n) = (n - 1) * (g (n - 1) + g (n - 2))

$所以，g(n)=(n-1)*(g(n-1)+g(n-2))$

A n s = C m n * g (n - m)

$Ans=C_n^m*g(n-m)$

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

#define P 1000000007
#define LL long long
#define N 1000100

LL f[N],s[N],g[N],ans;
int t,n,m;

LL ksm(LL x,int k)
{
    if (k==0) return 1;
    if (k==1) return x;
    LL t=ksm(x,k/2);
    if (k%2==0) return t*t%P;
      else return t*t%P*x%P;
}

void pre()
{
    f[0]=1;
    for (int i=1;i<=1000000;i++)
      f[i]=f[i-1]*i%P;
    s[0]=1;
    for (int i=1;i<=1000000;i++)
      s[i]=ksm(f[i],P-2);
    g[0]=1; g[1]=0; g[2]=1;
    for (int i=3;i<=1000000;i++)
      g[i]=(i-1)*((g[i-1]+g[i-2])%P)%P;
}

int main()
{
    pre();
    scanf("%d",&t);
    for (int ii=1;ii<=t;ii++)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        ans=0;
        ans=f[n]*s[n-m]%P*s[m]%P;
        ans=ans*g[n-m]%P;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}