离散对数问题

离散对数公钥加密算法是目前最为热门的公钥加密算法 ，其安全性要远远高于基于大数分解的RSA算法。

离散对数问题可以描述为：给定一个质数p，和有限域Zp上的一个本原元a，对Zp上整数b，寻找唯一的整数c，使得a^c≡b(mod p)。一般的，如果仔细选择p，则认为该问题是难解的，且目前还没有找到计算离散对数问题的多项式时间算法。为了抵抗已知的攻击，p至少应该是150位的十进制整数，且p-1至少有一个大的素数因子。

下面是一个使用离散对数的例子：

Alice和Bob首先商议好p的值，本例假设为p=2579，则本原元为a=2。

假设Alice要发送消息x=1299给Bob，则

1）Bob选择随机数r=765作为自己的私钥，计算q=2^r mod p=2^756 mod 2579=949，作为公钥给Alice；

2）Alice选择随机数k=853，计算y=2^k mod p=2^853 mod 2579=435，作为公钥给Bob；

3）Alice计算密文e=x*q%k mod p=1299*949^853 mod 2579=2396，并传递给Bob；

4）Bob接收到密文后，计算x=e*(y^r)^(-1) mod p=2396*(435^765)^(-1) mod 2579=1299，从而得到原文。

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