23、模拟滤波器耦合形式与级联形式详解

模拟滤波器耦合形式与级联形式详解

1. 引言

有源 RC 滤波器（ARC）的首次发表可追溯到 1938 年（Scott），J.G. Linvill 在 1954 年成为现代有源滤波器理论的先驱之一。最初，电子管被用作放大元件，但它们价格昂贵且功耗大。因此，仅含一个放大元件的滤波器电路受到青睐，不过这类电路对电阻和电容值的变化非常敏感，尤其对电子管的增益敏感。由于极高的灵敏度，在实践中设计高阶可用的有源 RC 滤波器几乎是不可能的，这促使人们广泛研究对元件误差不太敏感的有源滤波器结构。

高阶滤波器与一阶和二阶滤波器相比，其元件灵敏度本质上要高得多。这可以通过考虑极点非常接近时传递函数的分母来解释。对于高阶模拟滤波器的分母 (D(s))：
[D(s) = \sum_{k = 0}^{N} d_{k}s^{k} = \prod_{j = 1}^{N} (s + s_{pj})]
对两边求导可得：
[\frac{\partial D}{\partial d_{k}} = \frac{\partial D}{\partial s_{pn}} \frac{\partial s_{pn}}{\partial d_{k}}]
进而得到：
[s^{k} = \prod_{j = 1, j \neq n}^{N} (s + s_{pj}) \frac{\partial s_{pn}}{\partial d_{k}}]
以及
[\frac{\partial s_{pn}}{\partial d_{k}} = \frac{s}{\prod_{j = 1, j \neq n}^{N} (1 + \frac{s_{pj}}{s})}]，对于 (s = -s_