5、低通滤波器标准逼近方法详解

低通滤波器标准逼近方法详解

1. 引言

在滤波器设计中，找到满足特定规格的传递函数是关键问题。传统上，我们通过不同的解析方法来解决逼近问题，但实际应用中滤波器要求往往更复杂，可能存在相互矛盾的要求，这使得合成一个好的滤波器变得困难。计算机辅助方法的出现改变了这一局面，通过优化程序可以轻松找到满足多种要求的传递函数。

2. 滤波器基础

滤波器的幅度函数平方可以表示为：
[|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \epsilon^2|C_N(j\omega)|^2}]
其中 (C_N(j\omega)) 是特征函数。对于奇数（偶数）阶滤波器，(C_N(s)) 是 (s) 的奇（偶）函数。(C_N(s)) 的零点称为反射零点，通常位于通带内；极点位于阻带内，称为传输零点。(\epsilon) 是一个决定滤波器通带变化的常数。

3. 巴特沃斯滤波器

3.1 特性

巴特沃斯滤波器是数学上最简单且最常见的逼近方法。它主要因为易于合成而被使用，而非具有特别好的性能。对于给定的衰减要求，巴特沃斯逼近需要相对较高的滤波器阶数，因此与其他标准逼近方法相比，群延迟较大。高阶滤波器实现成本高，若采用有源 RC 滤波器实现，功耗也大。

3.2 幅度和特性函数

巴特沃斯滤波器的幅度函数平方为：
[|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \epsilon^2(\frac{\omega}{\omega_c})^{2N}}]
特性函数平方为：
[|C_N(j\omega)|^2 = (\frac{\omega}