7、损失函数与风险评估：原理、计算与效率分析

损失函数与风险评估：原理、计算与效率分析

1. 损失函数的选择与特性

在机器学习和统计分析中，损失函数用于衡量模型预测值与真实值之间的误差。常见的损失函数有平方损失、$\epsilon$-不敏感损失和$L_1$损失等。

1.1 平方损失

平方损失是最常用的损失函数之一，其形式为$c(x, y, f(x)) = (f(x) - y)^2$，等价于$\tilde{c}(\delta) = \delta^2$。为了后续符号表示的方便，也常使用$\frac{1}{2}\delta^2$。平方损失对应于假设观测值受到加性正态噪声干扰的情况。

1.2 $\epsilon$-不敏感损失和$L_1$损失

$\epsilon$-不敏感损失是软间隔损失在回归问题中的扩展，其形式为$\tilde{c}(\delta) = \max(|\delta| - \epsilon, 0)$。该损失函数的思想是，当偏差小于$\epsilon$时不进行惩罚，超过$\epsilon$的偏差则进行线性惩罚。当$\epsilon = 0$时，$\epsilon$-不敏感损失退化为$L_1$损失，即$\tilde{c}(\delta) = |\delta|$，用于最小化绝对偏差之和。

1.3 损失函数的实际考虑

为了实现高效的学习过程，损失函数应满足一些特性：
- 计算成本低 ：能够快速计算损失值。
- 一阶导数间断点少 ：便于优化算法的收敛。
- 凸性 ：确保解的唯一性。
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