32、两阶段 Lambda 演算的自动拆分

两阶段 Lambda 演算的自动拆分

1. 端到端正确性定理

在两阶段 Lambda 演算中，端到端正确性定理（Theorem 5）被精确表述。其中，“e ó v” 表示项 e 到值 v 的标准单阶段归约，“”” 表示单阶段等价关系。

定理 5（端到端正确性）

若 ¨ $ e :A @ 2，e 经过一系列 2 阶段归约到 q，且 e 2 阶段拆分结果为 tp|l.ru，则 p 归约到 b，且 rb{lsr 等价于 q。

证明该定理采用对评估步骤进行归纳的方法：
- 基础情况 ：当 e 已经是 q 形式的残项时，可知 q 2 阶段拆分结果为 t<>| .qu，根据拆分的唯一性，p 为 <>，r 为 q，可直接得出 <> 归约到 <> 且 q 等价于 q。
- 递归情况 ：评估至少进行一步，e 经过 2 阶段归约到 e1 再到 q，已知 ¨ $ e : A @ 2 且 e 2 阶段拆分结果为 tp|l.ru。由拆分的保持性和完全性可知，¨ $ e1 : A @ 2 且 e1 2 阶段拆分结果为 tp1|l1.r1u。根据归纳假设，p1 归约到 b1 且 rb1{l1sr1 等价于 q。为完成证明，引入引理 1，其本质是说明任何单步拆分都是正确的。

引理 1（单步正确性）

• 若 e 2 阶段归约到 e1，e 2 阶段拆分结果为 tp|l.ru，e1 2 阶段拆分结果为 tp1|l1.r1u，且 p1 归约到 b1，则 p 归约到 b 且 rb{lsr 等价于 rb1