3、增长最优投资组合的历史与特性解析

增长最优投资组合的历史与特性解析

1. 增长最优投资组合（GOP）的发展历程

增长最优投资组合（GOP）相关研究历史悠久。早期研究中，套利与GOP的关系虽未明确提及，但相关结果可表述为问题 1.2 的解的存在性与状态价格密度（SPD）的存在性以及无套利之间的等价关系。首次明确提及这种关系的是 Long（1990），不过其定理 1 需将计价投资组合替换为 GOP 才成立。Breiman（1961）指出了价值过程 S(δ)(t)的唯一性。

GOP 策略的特性，尤其是短视性，由 Mossin（1968）进行了分析。众多学者致力于寻找 GOP 问题的解决方案，如 Bellman 和 Kalaba（1957）、Ziemba（1972）等，他们采用的方法主要是近似法或基于非线性优化模型。

定理 1.3 的第二个性质的证明可追溯到 Kelly（1956）针对伯努利试验的特殊情况，Latané（1959）也独立发现了这一结果。Breiman（1960，1961）对结果进行了细化，Algoet 和 Cover（1988）将其扩展到一般分布。Breiman（1961）考虑了达到特定目标的预期时间，Aucamp（1977）引入回扣后表明，对于有限财富水平，GOP 能使达到目标的时间最短。计价投资组合的性质可从 Breiman（1961）的定理 3 推导得出，“计价投资组合”这一术语则来自 Long（1990）。直到 Kramkov 和 Schachermayer（1999）才明确指出上鞅性问题，Becherer（2001）对其进行了综合处理。

2. 连续时间框架下的金融市场模型

在连续时间框架下，金融市场由一个 d + 1 维半鞅 S 来建模，它定义在满足通