29、概率系统类型层次结构与洛伦兹吸引子的形式化研究

概率系统类型层次结构与洛伦兹吸引子的形式化研究

概率系统类型层次结构

在概率系统类型的研究中，我们通过将双模拟性的保持和反射问题简化为 $G \circ F$ 的单射性，得到了一个不错的抽象特征。若 $G \circ F$ 是一个单射自然变换，那么它能保持和反射双模拟性。我们没有将 $G \circ F$ 的单射性形式化为对所有具体实例的单射性证明，而是直接通过余归纳法证明 $G \circ F$ 的单射性，同时也直接用余归纳法证明等式 $unfold_G (G \circ F \circ s) = G \circ F \circ unfold_F s$。

具体示例

考虑特定的 BNF（有界自然形式） $F$ 和 $G$ 的实例：简单 Segala 系统（$F = (\alpha \times \sigma \text{ pmf}) \text{ set} \kappa$）和 Segala 系统（$G = (\alpha \times \sigma) \text{ pmf} \text{ set} \kappa$），并定义映射 $G \circ F \ s_{seg} = \text{mapset} (\lambda(a, p). \text{mappmf} (\lambda s. (a, s)) p) s_{seg}$。
接下来，我们通过直接的余归纳法正式证明 $G \circ F$ 的性质。以交换性性质的详细手动证明为例，余归纳法将余归纳规则中的自由变量 $R$ 用规范双模拟见证 $\lambda seg \ seg’. \exists x. seg = unfold_G (G \circ F \circ s) x \land seg’ =