21、形式化规模最优排序网络：提取经过认证的证明检查器

形式化规模最优排序网络：提取经过认证的证明检查器

1. 引言

排序网络是一种面向硬件的算法，用于使用预定的比较序列对固定数量的输入进行排序。它由一个基本运算符——比较器构建而成。比较器读取两个通道上的值，并在必要时交换它们，以确保较小的值始终位于预定通道上。独立值对之间的比较可以并行执行，主要有两个优化问题：一是对 n 个输入进行排序所需的比较器数量（最优规模问题）；二是对 n 个输入进行排序所需的计算步骤数（最优深度问题），本文主要关注前者。

对于最优规模问题，不同输入数量的求解方法不同：
- 输入数量不超过 4 时，简单的信息论论证即可。
- 输入数量为 5 时，状态空间较小，可通过手动检查和对称论证来穷尽。
- 输入数量为 7 时，所有已知的最优性证明都使用计算机程序来消除近 $10^{20}$ 个长度为 15 的比较器序列搜索空间中的对称性，并证明不存在这种规模的排序网络。
- 输入数量为 9 时，经过 50 年才证明已知规模为 25 的排序网络是最优的。
- 输入数量为 6、8 和 10 时，通过理论论证获得最优性结果。

证明中使用了生成 - 剪枝算法来展示排序网络的规模最优性。该算法不仅证明了对 9 个输入进行 25 次比较的最优性，还直接确认了所有较小输入数量的情况。剪枝步骤包含一个昂贵的测试，用于判断两个比较器序列中的一个是否可以被忽略。此测试经常失败，且会以指数级的次数重复，每次调用在最坏情况下需要遍历 n 个元素的所有排列。

本文描述了最优规模排序网络理论的 Coq 形式化，并从中提取一个实现生成 - 剪枝的经过认证的检查器，以确认这些结果的有效性。为了获得可行的运行时间，在提取的经过认证的