18、解决维度灾难的概率性方法

解决维度灾难的概率性方法

1. 概率性搜索算法基础

在处理度量空间中的搜索问题时，为了提高效率，我们提出了一种概率性算法。该算法基于对三角形不等式的“拉伸”，以利用高维度的特性。这种方法通常应用于基于枢轴的算法中。

具体来说，我们通过将密度函数 (f_Z) 乘以一个常数 (\beta \geq 1) 来将其向右移动。在实际操作中，我们在使用距离差之前将其乘以 (\beta)，以此“拉伸”三角形不等式。对于满足 (\beta |d(u, p_i) - d(q, p_i)| > r)（即 (|d(u, p_i) - d(q, p_i)| > r/\beta)）的元素，我们将其丢弃。这相当于在保持丢弃半径的同时减小搜索半径。也就是说，我们使用 (r/\beta) 来确定候选元素，但在直接检查这些候选元素时仍使用原始半径 (r)。

下面是该算法的一个简单流程说明：
1. 选择一个常数 (\beta \geq 1)。
2. 对于每个枢轴 (p_i)，计算 (|d(u, p_i) - d(q, p_i)|)。
3. 如果 (|d(u, p_i) - d(q, p_i)| > r/\beta)，则丢弃元素 (u)。
4. 对剩余的候选元素，使用原始半径 (r) 进行检查。

以下是该算法的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[选择常数 β ≥ 1];
    B --> C[遍历枢轴 p_i];
    C --> D[计算 |d(u, p_i) - d(q, p_i)|];