1、实用数值与科学计算：MATLAB与Python的线性系统求解

实用数值与科学计算：MATLAB与Python的线性系统求解

在科学与工程领域，线性方程组的求解是数值计算中的基础问题。许多数学问题，如微分方程、积分方程的求解，超越函数的多项式逼近以及非线性方程组的求解，最终都会归结为线性方程组的求解。本文将介绍使用直接方法求解线性方程组，包括测试解的存在性、特殊线性系统的求解方法以及矩阵分解技术，并提供MATLAB和Python的实现代码。

1. 测试解的存在性

一个包含 $m$ 个方程和 $n$ 个未知数的线性系统可以写成矩阵形式：
$Ax = b$
其中，
$A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}$，
$x =
\begin{pmatrix}
x_1 \
x_2 \
\vdots \
x_n
\end{pmatrix}$，
$b =
\begin{pmatrix}
b_1 \
b_2 \
\vdots \
b_m
\end{pmatrix}$

矩阵 $A$ 的系数 $a_{ij}$ 为实数，$x$ 是未知数向量，