17、量子主丛的微分学与水平形式解读

量子主丛的微分学与水平形式解读

1. 量子主丛的微分学定义

在量子主丛的研究中，微分学的定义至关重要。量子主丛的微分学与经典主丛的微分学有显著不同。在经典理论中，一旦有了主丛，相关的三个空间（李群、全空间和基空间）的微分学是由函子自然给出的。而在量子情形下，需要通过满足的公理来强加微分学结构，这种微分结构的非唯一性使得量子理论比经典理论更加丰富。

一个量子主丛 (P = (B, A, B\hat{})) 上的（分次）微分学由以下对象和性质给出：
- (diff1a) ：一个在 (B) 上的分次微分 ( ) - 代数 ((\Omega(P), d_P))，其中 (\Omega(P)) 作为分次微分学由次数为 0 的元素 (\Omega^0(P) = B) 生成。特别地，(d_P: \Omega^0(P) = B \to \Omega^1(P)) 是一阶微分算子（FODC），且 (d_P: \Omega(P) \to \Omega(P)) 的次数为 1。
- (diff1b) ：一个在 (A) 上的双协变且 ( ) - 协变的 FODC ((\Gamma, d))。
- (diff2) ：量子主丛的右余作用 (B\hat{}: B \to B \otimes A) 扩展为 (\Gamma^\wedge) 在 (\Omega(P)) 上的一个必然唯一的右余作用，记为 (\Omega(P)\hat{\Psi}: \Omega(P) \to \Omega(P) \otimes \Gamma^\wedge)，其中 (\Gamma^\wedge