13、双协变性与高阶微分演算：从基础到应用

双协变性与高阶微分演算：从基础到应用

1. 双协变性与辫子外代数

在数学研究中，我们常常会遇到各种代数结构及其相关运算。其中，楔积（wedge product）是一个重要的概念。虽然楔积源自张量积，但它的符号并没有下标，并且它与流形的 de Rham 理论中的楔积不同。

根据已知关系 $\wedge^n\mathfrak{X} = \mathfrak{X}^{\otimes n}/ \ker A_n \cong \text{Ran} A_n$，我们可以得到一个便于计算的结果。

推论 ：设 $\omega_1 \in \wedge^k\mathfrak{X}$ 且 $\omega_2 \in \wedge^l\mathfrak{X}$，则 $\omega_1 \wedge \omega_2 = A_{k + l,k}(\omega_1 \otimes_A \omega_2)$。

证明 ：利用上述关系，我们可将 $\omega_1$ 写为 $\omega_1 = A_k\rho_1$，$\omega_2$ 写为 $\omega_2 = A_l\rho_2$，其中 $\rho_1 \in \mathfrak{X}^{\otimes k}$，$\rho_2 \in \mathfrak{X}^{\otimes l}$。根据楔积的定义，$\omega_1 \wedge \omega_2 = \rho_1 \otimes_A \rho_2 + \ker A_{k + l} \in \mathfrak{X}^{\otimes (k + l)}/ \ker A_{k + l}$，这是商空间中的一个陪集。