11、辫群与双协变代数：构建辫化外代数的基础

辫群与双协变代数：构建辫化外代数的基础

1. 辫群相关基础与定理

1.1 双协变双模练习

在研究辫群的过程中，有一些关于双协变双模的练习需要完成。例如，需要证明对于所有整数 (n \geq 0)，((\Omega^{\otimes n}, \hat{\Omega}^{\otimes n}, \Omega^{\otimes n}\hat{})) 是双协变双模。这涉及验证 (\hat{\Omega}^{\otimes n}) 满足左余作用的第二个性质，(\Omega^{\otimes n}\hat{}) 是右余作用，并且这两个余作用是兼容的。另外，还需要证明 (inv\Omega^{\otimes n} = inv\Omega \otimes \cdots \otimes inv\Omega)，并将此结果转化为关于 (inv\Omega) 和 (inv\Omega^{\otimes n}) 基之间关系的陈述。

1.2 基本定理

接下来介绍了一个基本定理，该定理围绕映射 (\tau: \Omega^{\otimes 2} \to \Omega^{\otimes 2}) 展开，此映射具有以下性质：
1. A - 双模同构 ：(\tau) 是一个 A - 双模同构。证明过程中，先通过引理 7.1 表明 (\tau) 是单射和满射，且线性性明显。为证明它是 A - 双模同态，对于任意 (c \in A) 和 (\alpha \in \Omega^{\otimes 2})，有 (c\alpha = \sum_{ij \in I} c a_{ij} \omega_i \otimes_A \eta_j)，则 (\tau(c