8、感觉运动学习与控制中的因果推理

感觉运动学习与控制中的因果推理

1. 因果推理的基础概念

在感觉运动学习与控制领域，因果推理是一个重要的概念。我们先从感觉线索的处理说起，神经系统只能获取有噪声的线索，因此需要估计这些线索是否有共同的原因。这里涉及到两个关键概率：给定线索下共同原因的概率和单独原因的概率。

通过贝叶斯规则，我们可以进行相关计算。例如，在某些公式中，$p(c)$ 是视觉和本体感觉线索共享共同原因的先验概率。

下面是一些相关的符号说明：
| 符号 | 含义 |
| ---- | ---- |
| 实际视觉和听觉刺激的位置 | 实际存在的视觉和听觉刺激所在的位置 |
| 视觉和听觉模态分别获得的（有噪声的）估计 | 通过视觉和听觉方式分别得到的带有噪声的估计值 |
| 视觉和听觉刺激位置的最优估计 | 对视觉和听觉刺激位置的最佳估计结果 |

2. 混合模型在因果推理中的应用

混合模型是因果推理中的一个重要模型。它的特点是通过混合共同原因和非共同原因的成分来得到概率。在我们的例子中，因果推理是关于因果结构的推理，而不是参数的推理。

为了进行数学推导，我们需要计算假设因果知识下可能刺激位置的概率。对于共同原因（$c$）的情况，两个线索都相对于一个潜在原因 $s$ 得出，这个原因 $s$ 又来自先验分布 $p(s)$。我们对这个未观察到的变量进行边缘化，以计算在假设原因下视觉 $v$ 和听觉 $a$ 的联合分布。

对于非共同原因（$\neg c$）的情况，两个线索独立地从各自的分布中得出，我们在相应公式中分别对未观察到的位置进行边缘化。由于相关公式中的项是高斯分布，我们可以得到